Núcleo del "mapa de evaluación polinómica" para campos finitos

Question

Para un campo $k$ y $n$ un número natural (como mínimo $1$ ) definen la "evaluación en un punto $k$ -homorfismo

$$ \varphi_{k, n} : k[X_1, \ldots, X_n] \to k^{k^n} : f \mapsto (f(a))_{a \in k^n}. $$

Se demuestra fácilmente por inducción en $n$ que para $f \in k[X_1, \ldots, X_n]$ con $\deg_{X_i}(f) < \lvert k \rvert$ para todos $i = 1, \ldots, n$ o bien $f = 0$ o $\varphi_{k, n}(f) \neq 0$ . En particular, se deduce que $\varphi$ es inyectiva si $k$ es infinito. Si $k$ es el campo finito con $q$ se deduce que el núcleo de $\varphi_{k, 1}$ es el ideal generado por $X^q - X$ .

¿Puede una descripción del núcleo de $\varphi_{k, n}$ para campos finitos $k$ y $n > 1$ ? Está claro que contiene $X_i^q - X_i$ para todos $i$ ¿pero es el ideal generado por esos polinomios?

Answer 1

El núcleo para $k=\Bbb F_q$ es el ideal $I$ generado por $X_i^q-X_i$ para todos $i$ .

Módulo $I$ cada polinomio es congruente con uno de grado $\le q-1$ en todas las variables. Estos polinomios forman un espacio vectorial $V$ de dimensión $q^n$ . Todos los mapas de $k^n$ a $k$ está representado por un elemento de $V$ y como $|V|=q^{q^n}$ entonces el único elemento de $V$ que representa la mapa cero es el polinomio cero. Así pues, el núcleo de la "evaluación universal" es efectivamente $I$ .

Answer 2

He aquí otra prueba. Observe que

$$ \mathbf{F}_q[X]/(X^q - X) \cong \prod_{a \in \mathbf{F}_q}\mathbf{F}_q$$

donde el $a$ -ésimo componente es "evaluación en $a$ ". Ahora, para finito $I$ ,

$$ \begin{align}\left( \prod_{i \in I} \mathbf{F}_q \right) [X]/(X^q - X) &\cong \prod_{i \in I} \mathbf{F}_q [X]/(X^q - X) \\&\cong \prod_{i \in I} \prod_{a \in \mathbf{F}_q}\mathbf{F}_q \\ &\cong \prod_{i \in I \times \mathbf{F}_q} \mathbf{F}_q \end{align} $$

Repitiendo $n$ veces da

$$\mathbf{F}_q[X_1, \ldots, X_n]/(X_1^q - X_1, \ldots, X_n^q - X_n) \cong \prod_{v \in \mathbf{F}_q^n} \mathbf{F}_q$$