La integral de la función compleja es cero

Question

Sea $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ sea una función continua sobre $\mathbb{C}$ y holomorfo en $\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ . Demostrar que para toda curva cerrada $\gamma$ : $\int_\gamma f(z)\,dz=0$ .

Así que si $\gamma$ no se cruza con $\mathbb{R}$ entonces sabemos que $\int_ \gamma f=0$ del teorema de Cauchy, pero no sé cómo continuar desde aquí...

Answer 1

• Demuestre que $\int_\gamma f(z) \,\mathrm{d}z=0$ cuando $\gamma$ es el contorno de un triángulo.
• Demuestre que $f$ es, de hecho, holomorfa en $\mathbb{C}$ utilizando el teorema de Morera.
• Concluya.

Answer 2

Una cosa que podría hacer es definir $F(z) = \int_{[0,z]}f(w)\,dw.$ Si puede demostrar $F'(z) = f(z)$ en todas partes, entonces sabrás $F$ es entera, por lo que su derivada $f$ está entero. La conclusión se deduce del teorema de Cauchy.

Para empezar, supongamos $z$ está en el semiplano superior $\mathbb H.$ Entonces $z+h\in \mathbb H$ si $|h|$ es pequeño. Sea $\Delta$ sea el triángulo $0,z,z+h.$ Entonces por continuidad,

$$\tag 1 \int_\Delta f(w)\,dw = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{\Delta +i\epsilon} f(w)\,dw.$$

Dado que el triángulo $\Delta +i\epsilon$ se encuentra en $\mathbb H,$ donde $f$ es holomorfa, el lado derecho de $(1)$ es $0$ para cada $\epsilon.$ Por lo tanto, el lado izquierdo de $(1)$ es $0.$

Esto le permite reclamar $F(z+h) -F(z)$ es la integral de $f$ a lo largo de $[z,z+h].$ Las pistas de $F'(z) = f(z)$ bastante bien.

La prueba para el semiplano inferior es la misma, y si $z\in \mathbb R,$ hay que tener en cuenta algunos casos, pero básicamente es lo mismo.