Fórmula del residuo para la fracción

Question

Supongamos que la función $f(z)=\dfrac{p(z)}{q(z)}$ tiene un polo de orden $2$ en $z=a$ . (Así que $q(z)$ tiene un cero de orden $2$ en $z=a$ .) Entonces el residuo en $z=a$ de $f(z)$ es $$\dfrac{d}{dz}(z-a)^2\dfrac{p(z)}{q(z)}$$

¿Por qué es igual a $$\dfrac{p'(a)}{q''(a)/2}?$$

Answer 1

Escriba a $q(z) = \frac12 q''(a)(z-a)^2 + (z-a)^3\tilde{q}(z)$ donde $\tilde{q}$ es holomorfa en una vecindad de $a$ . Entonces

$$(z-a)^2\frac{p(z)}{q(z)} = \frac{p(z)}{q''(a)/2 + (z-a)\tilde{q}(z)}.$$

Diferenciando esto se obtiene

$$\frac{d}{dz}\bigl\lvert_{z=a}(z-a)^2\frac{p(z)}{q(z)} = \frac{p'(z)}{q''(a)/2} - \frac{p(a)\tilde{q}(a)}{(q''(a)/2)^2},$$

lo que no concuerda con su fórmula.