¿Es la factorización de un polinomio la misma en cualquier campo algebraicamente cerrado?

Question

Me motiva el caso de $x^2+y^2$ . Es irreducible en $\mathbb{R}[x,y]$ pero reducible en $\mathbb{C}[x,y]$ cuyo factor es $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)$ . En cualquier campo algebraicamente cerrado $k$ , $x^2+1 \in k[x]$ tiene sus raíces en $k$ que podemos denotar como $\pm \sqrt{-1}= \pm i$ . Por lo tanto $x \pm iy \in k[x,y]$ y $x^2+y^2$ tiene la misma factorización que sobre $\mathbb{C}$ .

Esto me hace preguntarme si la factorización de un polinomio es la misma en cualquier campo algebraicamente cerrado. No se me ocurre ningún contraejemplo. ¿Y si restringimos la atención a campos algebraicamente cerrados de característica 0?

Perdón si me estoy perdiendo algo obvio, y gracias por cualquier aportación.

Answer 1

Si se pueden considerar dos campos algebraicamente cerrados $\mathbb{F}_{1}$ y $\mathbb{F}_{2}$ para tener una intersección no trivial que contenga los coeficientes de su polinomio, entonces puede considerar el subcampo algebraicamente cerrado más pequeño que contenga todos estos coeficientes $k \subseteq \mathbb{F}_{1} \cap \mathbb{F}_{2}$ tu polinomio se factorizará completamente sobre $k$ . Así que sí, en este caso tu polinomio se factorizará de forma única (sea como sea).

Pero, en general, no tiene sentido plantearse esta cuestión en un sentido más amplio. Por ejemplo, en general no se puede pensar en las raíces de $x^{2}+1$ en un campo arbitrario como números complejos. En $\overline{\mathbb{F}_{2}}$ este polinomio se factorizará como $(x+1)^{2}$ mientras que en $\overline{\mathbb{F}_{5}}$ será el factor $(x-2)(x-3)$ .

En $\overline{\mathbb{F}_{3}}$ las raíces no están en el campo primo, así que aquí podríamos llamar a las raíces de este polinomio $\pm \mathrm{i}$ y decir $x^{2} + 1 = (x+\mathrm{i})(x-\mathrm{i})$ . Pero este no es el número complejo $\mathrm{i}$ no se nos ocurriría $\overline{\mathbb{F}_{3}}$ como si tuviera elementos en común con $\mathbb{C}$ por lo que no tiene sentido decir que esta factorización es "la misma que" la factorización sobre $\mathbb{C}$ . De hecho, ni siquiera sería prudente considerar los coeficientes de $x^{2}+1 \in \overline{\mathbb{F}_{3}}[x]$ sean los mismos que los coeficientes de $x^{2}+1 \in \mathbb{C}$ aunque pueden estar vagamente conectadas a través de los homomorfismos canónicos de $\mathbb{Z}$ en estos campos.