La prueba es muy larga. Así que me salto los detalles aquí.
Parte 1, debe demostrar que $f(x_0)=0$ . No es sencillo. Necesito una cifra para explicarlo.
Para utilizar la prueba de contradicción, supongamos que $f(x_0)\neq 0$ . La prueba se divide en 3 pasos.
En el paso 1, para demostrar que existe un pequeño segmento $\Lambda$ atravesando la curva $\{\phi(x_0,t),t\in D(x_0)\}$ en el punto $x_0$ . Además, todas las curvas (las soluciones de la EDO) que pasan por $\Lambda$ van de la izquierda a la derecha, como se muestra en la Fig. 1.
En el paso 2, debes demostrar que existen dos puntos diferentes $x_1$ y $x_2$ en $\Lambda$ tal que $x_1=\phi(y,t_1)$ y $x_2=\phi(y,t_2)$ donde $t_2>t_1$ como se muestra en la Fig. 2.
En el Paso 3, defina un conjunto abierto S como se muestra en la Fig 3, tal que $\partial S=\{\phi(y,t)|t_1\leq t\leq t_2\}\cup \overline{x_1x_2}$ . Entonces puede demostrar que $\phi(y,t)\in \bar{S}$ para todos $t\leq t_2$ .
Por lo tanto, se obtiene una contradicción que $x_0$ no puede ser el límite alfa de $y$ si $f(x_0)\neq 0$ .
Además, se puede demostrar que, si la intersección de la $\alpha$ y $\omega$ conjuntos límite no es vacío, todos los puntos de la unión de $\alpha$ y $\omega$ los conjuntos de límites deben satisfacer $f(x)=0$ .
![enter image description here]()
Parte 2, demuestre que tanto $\omega$ y $\alpha$ los conjuntos de límites son $\{x_0\}$ . Se necesitan algunas definiciones y configuraciones más en mi método de la prueba.
Paso 1, debemos definir un nuevo espacio $W=\mathbb{R}^2\cup \{\infty\}$ y los conjuntos abiertos en este espacio están generados por aquellos conjuntos como $\{x:\|x\|>r_1\}\cup\{\infty\}$ y $\{x:\|x-z_0\|<r_2\}$ . Entonces esta topología hace que este espacio sea un espacio compacto. También definimos $f(\infty)=0$ entonces $\phi(\infty,t)=\infty$ para todos $t\in\mathbb{R}$ también puede considerarse una solución de la EDO. La existencia y unicidad de la solución de la EDO en $W$ sigue en pie.
Paso 2, demostrar que, en este nuevo espacio, el $\alpha$ y $\omega$ los conjuntos de límites están conectados. Así que no sólo pueden contener los equilibrios finitos aislados de la EDO, a menos que sólo haya un punto en ambos conjuntos límite.
Entonces, la prueba se completa aquí.
O hay otra forma de demostrar la Parte 2. Aquí no es necesario definir un nuevo espacio. Observa que sólo hay equilibrios finitos de la EDO en el plano, denotados por $z_1,\ldots,z_n$ respectivamente. Entonces, existen números positivos $r_1,\ldots,r_n$ tales que los conjuntos $A_i\triangleq\{x:\|x-z_i\|<r_i\}$ no tienen intersección. Y existe un número positivo $R>0$ tal que $A_i\subset U$ donde $U\triangleq \{x:\|x\|<R\}$ . Entonces $\bar{U}$ es compacto. Y se puede demostrar que si y tiene más de un $\omega$ limitar puntos $x_0,\tilde{x_0}\in \{z_1,\ldots,z_n\}$ entonces y debe tener otros $\omega$ punto límite en $\bar{U}\backslash \left\{\cup_{i=1}^n A_i\right\}$ . Este punto límite no es un equilibrio de la EDO, lo cual es una contradicción.
