Implicación frente a conjunción (del lenguaje natural a la lógica de predicados)

Question

Así que estoy confundido cuando debo usar la implicación y cuando debo usar la conjunción. Permítanme dar un ejemplo.

"A todos los loros les gustan las frutas".

He convertido esta frase en 2 predicados.

P(x) = "x" es un loro.
F(x) = A "x" le gustan las frutas.
donde Universo del Discurso son todos los pájaros.

Ahora aplicando la lógica, tengo 2 posibles respuestas.
$\forall x$ ( P(x) -> F(x) )
O
$\exists x$ ( P(x) ^ F(x) )

Ahora estoy confundido entre los dos. Leí la primera como " Para todas las aves es cierto que si son loros entonces les gustan las frutas".

Leo la segunda como "Existen algunos pájaros que son loros y les gustan las frutas".

Cuando pienso en ello, ambas afirmaciones parecen cumplir el significado inglés de la frase.

Answer 1

La frase "A todos los loros les gustan las frutas" está mejor escrita como $$\forall x\ \big(P(x) \to F(x)\big),$$ porque "todos" corresponde al cuantificador universal $\forall$ .

Si tienes problemas con la implicación frente a la conjugación con respecto a los cuantificadores, así es como se traduce "such that" (es decir, las condiciones impuestas a la variable cuantificada) utilizando cuantificadores, con $\forall$ se utiliza la implicación, y con $\exists$ es decir, que utilices la conjunción,

\begin{align} &\forall x \in P\ \big(F(x)\big) &\text{ corresponds to }& &&\forall x\ \big(x \in P \to F(x)\big) \\ &\exists x \in P\ \big(F(x)\big) &\text{ corresponds to }& &&\exists x\ \big(x \in P \land F(x)\big) \end{align}

Espero que esto ayude $\ddot\smile$

Answer 2

Estas dos afirmaciones son completamente diferentes. La primera significa que "a todos los loros les gusta la fruta", pero la segunda significa que "hay al menos un loro al que le gusta la fruta".

Esto no es equivalente en absoluto: considere el hecho de que tengo un buen amigo al que le gustan los brócolis, pero Dios sabe que eso no implica que a mí me gusten.