Todo campo finito tiene una extensión en la que cada elemento tiene una raíz cuadrada

Question

Sé que todo campo tiene un cierre algebraico, sólo quería demostrar esta afirmación por separado utilizando métodos "más sencillos".

Sea $(K,+,\cdot)$ sea un campo finito. Supongamos primero que existe un $x \in K$ tal que para cada $y \in K$ tenemos $y^2 \neq x$ . Definir las operaciones $+'$ y $\cdot'$ en $K^2$ con $(a,b)+'(c,d) = (a+c,b+d)$ y $(a,b)\cdot'(c,d) = (ac+bdx,ad+bc)$ . Podemos comprobar que $(K^2,+',\cdot')$ es un campo, con $(1,0)$ siendo el elemento neutro multiplicativo, etc. Sea $(a,b) \neq (0,0)$ . Supongamos que los vectores $(a,b)$ y $(bx,a)$ son linealmente dependientes, es decir, existe un $c \in K$ tal que $cb = a$ y $bx = ca = c^2b$ . Si $b = 0$ entonces también lo es $a$ contradictorio $(a,b) \neq (0,0)$ . Si $b \neq 0$ obtenemos $x = c^2$ contradiciendo nuestra suposición $\forall y \in K: y^2 \neq x$ . Así, los vectores $(a,b)$ y $(bx,a)$ son linealmente independientes, lo que significa que el sistema de ecuaciones lineales $(a,b)(c,d) = (ac+bdx,ad+bc) = (1,0)$ para $(a,b) \neq (0,0)$ tiene una solución única, lo que demuestra que $(K^2,+',\cdot')$ es un campo. Obviamente, $\{(a,0)\;|\;a \in K\}$ es un subcampo de $K^2$ que es isomorfo a $K$ para que podamos sustituir $(a,0)$ con $a$ . También vemos que $(0,1)(0,1) = (x,0) = x$ lo que significa que $x$ tiene una raíz cuadrada en $K^2$ . Desde $K$ es finito, sólo hay un número finito de elementos que pueden no tener una raíz cuadrada en $K$ por lo que podemos repetir la construcción de extensiones de campo hasta obtener una extensión de campo $L \geq K$ donde cada elemento de $K$ tiene una raíz cuadrada en $L$ . $L$ sigue siendo un campo finito. Ahora, dejemos que $K_0 := K, K_1 := L$ , dejemos que $K_2$ sea la extensión de campo de $K_1$ donde cada elemento de $K_1$ tiene una raíz cuadrada en $K_2$ etc. Sea $M := \cup_{n\in\mathbb{N}} K_n$ . Desde $K_0 \subset K_1 \subset K_2 \subset ...$ para cada $a,b \in M$ existe un mínimo $n \in \mathbb{N}$ tal que $a,b \in K_n$ . Para estos $a,b$ definir las operaciones $+$ y $\cdot$ en $M$ como los respectivos $+$ y $\cdot$ en $K_n$ . Es fácil demostrar que $(M,+,\cdot)$ es un campo. Sea $x \in M$ . Entonces existe un $n \in \mathbb{N}$ tal que $x \in K_n$ . Por construcción de $K_{n+1}$ x tiene una raíz cuadrada y en $K_{n+1} \subset M$ . Así, cada $x \in M$ tiene una raíz cuadrada en $M$ .

Answer 1

Sí, eso funciona. Algunas notas adicionales:

En primer lugar, supongamos que existe un $x\in K$ tal que para cada $y\in K$ tenemos $y^2\neq x$ .

Todo campo finito que no tenga característica $2$ tiene elementos no cuadrados. Todo campo finito de característica $2$ tiene todos sus elementos cuadrados, y $x\to x^2$ es un automorfismo de dicho campo.

... por lo que podemos repetir la construcción de extensiones de campo hasta obtener una extensión de campo $L\ge K$ donde cada elemento de $K$ tiene una raíz cuadrada en $L$ .

Una vez será suficiente. Para campos finitos, hay exactamente una extensión (hasta isomorfismo) de cada grado, así que cuando unimos una raíz cuadrada, obtenemos todas las demás gratis.

Toda esta construcción, tomando una cadena de extensiones y su unión, es un caso de la límite directo - la misma construcción que utilizaríamos para construir el cierre algebraico del campo finito con el que empezamos. La diferencia es que utilizamos sólo extensiones de orden potencia-de-2 en lugar de extensiones de todos los órdenes finitos, lo que significa que obtenemos un orden total en lugar de un orden parcial en nuestro $K_n$ .