Sea $A=\{(x,y) : x \in \mathbb{Q}, y \in \mathbb{R} \}$ . Demuestre que $m(A)=0$ .

Question

Sea $A=\{(x,y) : x \in \mathbb{Q}, y \in \mathbb{R} \}$ . Demuestre que $m(A)=0$ .

Observamos que $A = \mathbb{Q} \times \mathbb{R}$ . Ahora bien $\mathbb{Q}$ es contable podemos denotarlo como $\{x_1,x_2, \dots \}$ . Consideremos ahora los intervalos $\{(x_n-\frac{\varepsilon}{2^k}, x_n + \frac{\varepsilon}{2^k}) \times (k-1, k+1)\}.$

Puedo demostrar que la suma de las longitudes de estos intervalos es cero como $$\ell(I_k)=\frac{4\varepsilon}{2^k}$$ así que $$\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) = 4\varepsilon$$

pero no sé cómo puedo demostrar que los intervalos cubren $\mathbb{Q} \times \mathbb{R}?$

Answer 1

Su conjunto es una unión contable de copias de la recta real (indexada por $\mathbb{Q}$ ). La medida bidimensional de una línea en $\mathbb{R}^2$ es cero por lo que su medida total es cero por aditividad contable

Answer 2

Tienes que conisder $(x_n-\frac {\epsilon} {2^{k+n}},x_n+\frac {\epsilon} {2^{k+n}})\times (k-1,k+1)$ . Ambos $n$ y $k$ varían.

Si $q \in \mathbb Q$ y $ y \in \mathbb R$ entonces existe $k$ tal que $y \in (k-1,k+1)$ y $q=x_n$ para algunos $n$ . Por lo tanto, $(q,y) \in (x_n-\frac {\epsilon} {2^{k+n}},x_n+\frac {\epsilon} {2^{k+n}})\times (k-1,k+1)$ . Ahora comprueba que la medida total de todos estos intervalos es menor que $4\epsilon$ .