$\operatorname{Im} A = (\operatorname{ker} A^*)^\perp$

Question

Sea $A:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ sea una transformación lineal. Sabemos que existe una única transformación $A^*:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ tal que $$\langle Ax,y\rangle = \langle x,A^*y \rangle, \forall x \in \mathbb{R}^m,y\in \mathbb{R}^n.$$ Y sabemos también que la matriz de $A^*$ es $A^t$ .
Teniendo esto, demuestre que la ecuación $$Ax=b$$ tiene solución si y sólo si, $b$ es ortogonal a todos los vectores $y \in \operatorname{ker}A^*.$ Tenga en cuenta que esto es precisamente $$\operatorname{Im} A = (\operatorname{ker} A^*)^\perp.$$ Para demostrar que $\operatorname{Im}A \subset (\operatorname{ker}A^*)^\perp$ es fácil. Si $b \in \operatorname{Im}A$ entonces $\exists x\in \mathbb{R}^m$ tal que $Ax=b$ . Entonces, si $y$ es cualquier vector en $\operatorname{ker}A^*$ tenemos $$\langle b,y\rangle = \langle Ax,y\rangle$$ $$=\langle x,A^*y\rangle$$ $$=\langle x,0\rangle=0$$ y, por lo tanto, $b \in (\operatorname{ker}A^*)^\perp$ es decir $$\operatorname{Im}A \subset (\operatorname{ker}A^*)^\perp.$$ Ahora, cómo demostrar que, a la inversa, si $b \in (\operatorname{ker}A^*)^\perp$ entonces $b \in \operatorname{Im}A$ ??
Necesito ayuda... Lo siento por los duplicados ... (No pude encontrar esta pregunta aquí ...)

Answer 1

Sea $b$ cualquier elemento de $(\operatorname{ker}A^*)^\perp$ .
Desde $\mathbb{R}^n$ tiene dimensión finita $$\mathbb{R}^n=\operatorname{Im}A \oplus (\operatorname{Im}A)^\perp$$ y podemos escribir $b=Au+w$ , $u\in \mathbb{R}^m$ , $w \in (\operatorname{Im}A)^\perp$ . Habremos terminado si demostramos que $w=0$ y, por lo tanto, $b\in \operatorname{Im}A$ .
Ahora, para cualquier $v \in \mathbb{R}^m$ tenemos $$\langle A^*w,v\rangle=\langle w,Av\rangle=0,$$ desde $w\in (\operatorname{Im}A)^\perp$ . Esto demuestra que $A^*w=0$ (toma $v=A^*w$ ). Entonces, $w \in \operatorname{ker}A^*$ .
Por último, ¿cómo $b\in(\operatorname{ker}A^*)^\perp$ tenemos $$\langle b,w\rangle=0.$$ Por otro lado, $$\begin{array}{rcl} \langle b,w\rangle&=&\langle Au+w,w \rangle\\ &=& \langle Au,w\rangle+\langle w,w \rangle\\ &=&\langle w,w\rangle\end{array}$$ Y por lo tanto $\langle w,w \rangle =0$ y hemos terminado.