¿cuál es el significado de la notación $f: A\times B \rightarrow C$

Question

Estoy leyendo el 4º párrafo de la página 8, en la sección 1.2 Campos, en el siguiente libro https://drive.google.com/file/d/1KQ7dbLXI4x39VwZovTL0DKRsZwt_i3Vt/edit "álgebra lineal hecha abiertamente".

el resumen es:

una función $f$ es una relación entre conjuntos, digamos $A$ y $B$ ...denotamos esta relación de función como $f: A \rightarrow B$ ... $A\times B$ denota el conjunto de pares ordenados de elementos de $A$ y $B$ ... Una operación es una función de la forma $f: A \times B \rightarrow C$ . Hay que pensar en una operación como un proceso de unir dos objetos y crear una tercera operación.

lo que hace:

"Una operación es una función de la forma $f: A \times B \rightarrow C$ . Hay que pensar en una operación como un proceso de unir dos objetos y crear una tercera operación". ¿Qué quiere decir exactamente? ¿Cómo sería un buen ejemplo?

Answer 1

Una "operación" toma dos objetos y los combina para producir un tercer objeto. Por ejemplo, la suma es una operación sobre (por ejemplo) los números reales; si tengo dos números reales como $1$ y $2$ la suma los combina para formar $1 + 2 = 3$ .

La cita en negrita dice esencialmente que cualquier operación puede escribirse como una función cuyo dominio es un espacio producto cartesiano. Utilizando mi ejemplo, se puede representar la suma como una función sobre el conjunto de pares de números reales $$f_+ : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},$$ cuya acción sobre pares de números es sumarlos: $$f_+(x,y) = x + y.$$ (Nota: cuando tu libro de texto dice operación, en realidad quiere decir "operación binaria". En general, una operación puede tomar $n$ entradas)

Answer 2

Ofrece una forma bastante abstracta de ver operaciones como la suma y la multiplicación.

Podemos utilizar la suma de números reales como ejemplo. La operación de suma puede considerarse como una función que recibe dos números reales como entrada y produce un número real como salida. Si denotamos esta función por $f$ entonces $f$ es una correspondencia entre $\mathbb R \times \mathbb R$ à $\mathbb R$ . Su entrada es un par de números $(a,b) \in \mathbb R \times \mathbb R$ y su salida es $f(a,b) = a+b \in \mathbb R$ .

Del mismo modo, la operación de producto punto para $3D$ vectores es una función que asigna $\mathbb R^3 \times \mathbb R^3$ à $\mathbb R$ dados dos vectores $a \in \mathbb R^3$ y $b\in \mathbb R^3$ la función producto punto produce un número $a \cdot b \in \mathbb R$ .

Hay varios ejemplos más en las páginas siguientes de tu libro de texto.

A mí este tipo de abstracción no me parece muy útil, pero puede que a ti sí si quieres aprobar tu curso de álgebra lineal.

Answer 3

• No estamos acostumbrados a ver las operaciones como funciones, debido a la notación infija, es decir, la notación que coloca el símbolo de función en medio de las dos entradas, o mejor dicho, operandos.

Así que escribimos $4\times 5 = 20$ mientras que "deberíamos" escribir, si quisiéramos dejar claro que la multiplicación es una función :

$\times [ (4,5)]= 20$

o , si está de acuerdo en denotar la función de multiplicación por el símbolo $f^{\times}$

$f^{\times} [(4,5)] = 20$

( en palabras : la imagen del par ordenado $(4,5)$ bajo la función de multiplicación es $20$ ).

• ¿Qué entradas reciben este tipo de funciones? Como deja claro la notación prefija , la entrada de una operación es un par ordenado. A veces, el orden no importa (cuando la operación es conmutativa), a veces sí, cuando la operación no es conmutativa. Por ejemplo :

Si $f^{-}$ denota la función de sustracción , en general $f^{-} [(a,b)] \neq f^{-} [(b,a)]$ .

• Ahora, si quiere asegurarse de que los elementos de los pares ordenados (tomados como entradas por la función) proceden de conjuntos específicos, defina el dominio de la función como el producto cartesiano de estos conjuntos. Por ejemplo, si queremos definir la división, podemos definir el dominio de esta operación como el producto cartesiano $R\times R-\{0\}$ ( para garantizar que el dominio no tiene ningún par de la forma $(r, 0)$ en ella).

• Normalmente, una operación en un conjunto A se define como : una función que toma elementos de $A\times A$ como entradas ( es decir, pares ordenados de objetos pertenecientes ambos a $A$ ) y que devuelve como salida un elemento de $A$ . Por lo tanto : una función de $A\times A$ à $A$ sí mismo. Este tipo de función se denomina a veces "ley interna de composición".

• Cuando la función toma elementos de $A\times A$ como entradas pero devuelve salidas pertenecientes a otro conjunto $B$ A veces se utiliza el término "ley externa de composición". ( Esta terminología puede resultar anticuada). Un ejemplo puede ser la operación de producto punto, que toma pares de vectores como entradas y devuelve números reales como salidas.

• Las operaciones a las que se refiere su ejemplo son aún más complicadas, ya que los elementos de los pares ordenados ( = entradas) no pertenecen necesariamente al mismo conjunto , es decir, las entradas $(a,b) \in A\times B$ ( posiblemente con $A\neq B)$ y las salidas pertenecen ( posiblemente) a otro conjunto más $C$ .