Problema al calcular la curvatura escalar para un espaciotiempo estático con simetría esférica

Question

Estaba tratando de seguir el método de Cartan para encontrar la curvatura como se indica aquí en el caso de un espaciotiempo estático con simetría esférica. Todo parecía funcionar bien, y para una métrica de

$$ds^2 = -a^2(r)dt^2 + b^2(r)dr^2 + c^2(r)d\theta^2 + c^2(r)\sin^2\theta d\phi^2$$

Obtuve una curvatura escalar de

$$R = \frac{2}{ab^2}(\frac{a'b'}{b} - a'') - \frac{4a'c'}{ab^2c} + \frac{4}{b^2c}(\frac{b'c'}{b} - c'') + \frac{2}{c^2}(1 - \frac{c'^2}{b^2}).$$

Pero quiero usar el calibrador donde $r$ es la longitud adecuada, es decir $b(r) = 1$ . Por supuesto, el problema es que $r$ en general pueden ser temporales, y como las funciones que utilizamos en este método no absorben el signo menos, tenemos que tratar cada posibilidad por separado. Así que tengo que rehacerlo con $g_{tt}$ positivo y $g_{rr}$ negativo.

Pero como las formas 1 que construimos no contienen el signo menos, no veo que cambie nada en el cálculo de las componentes de Riemann. Incluso en el último paso,

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = e^\rho_a {R^a}_{bcd} e^b_\sigma e^c_{\mu} e^d_{\nu}$

al calcular la matriz marco inversa mediante

$e^\mu_i = e^j_{\nu} \eta_{ij} g^{\mu\nu}$

Dado que la transformación es diagonal, los signos de las métricas de marco y coordenadas se anulan.

Pues bien, si las componentes de Riemann de las coordenadas (1, 3) son todas iguales, entonces también lo son las componentes de Ricci de las coordenadas. Así que es sólo el paso de Ricci a escalar donde algo cambia.

$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

Así que simplemente volteamos las contribuciones de $R_{tt}$ y $R_{rr}$ . Pero esto tiene un efecto que me parece completamente erróneo: elimina los dos términos medios de la expresión para $R$ que tenía arriba. ¿Cómo es posible? ¿Simplemente cambiamos de coordenada temporal y de repente la curvatura tiene una fórmula completamente diferente? No lo creo... Pero he estado repasando los pasos y no veo lo que me estoy perdiendo. Así que me encantaría saber tu opinión.

Answer 1

Bueno voy a postear lo que descubrí por si alguien busca esto. Lo que me faltaba es que, para la conexión de giro,

$\omega^i_j = -\eta^{ii}\eta_{jj} \omega^j_i$

(que creo que es porque $\eta$ sube y baja índices en objetos marco como $\omega$ y $\eta$ es necesariamente diagonal... aunque no estoy seguro de por qué el signo menos). Eso significa que cuando $i$ y $j$ son ambas espaciales, $\omega^i_j = -\omega^j_i$ pero cuando uno es temporal.., $\omega^i_j = \omega^j_i$ . Así que algunas de sus fórmulas se voltean cuando $r$ cambia a timelike, y el efecto neto aguas abajo es recuperar esos dos términos medios en $R$ .

Pero además, hay una forma aún más sencilla de razonar $R$ dada la simetría. $R$ procede del $R_{\mu\nu}$ pero por simetría sólo tenemos $R_{\mu\mu}$ y éstas a su vez sólo proceden de componentes de Riemman de la forma ${R^\nu}_{\mu\nu\mu}$ y porque el marco $e^i_\mu$ está alineado con los ejes de coordenadas (simplemente está normalizado), sólo tenemos que utilizar la función ${R^i}_{jij}$ . Cuando tome ${R^i}_{jij}$ y convertirla de nuevo en coordenadas, la superior y la inferior $i$ 's cancelar, y sólo estás multiplicando por el $j$ función de coordenadas ( $a$ , $b$ , $c$ o $c\sin\theta$ ) dos veces, es decir $|g_{jj}|$ . Pero al hallar el escalar de Ricci, se multiplica por la métrica inversa, que lo anula, dejando sólo el signo, es decir. $\eta_{jj}$ . Así

$R = \Sigma \eta_{jj}{R^i}_{jij}$

A partir de esto, descubrí que $R$ cuando $g_{rr} < 0$ es exactamente el negativo de lo que es cuando $g_{rr} > 0$ excepto por el pequeño $\frac{2}{c^2}$ término que conserva su signo:

$R = \frac{2}{ab^2}(a'' - \frac{a'b'}{b}) + \frac{4a'c'}{ab^2c} + \frac{4}{b^2c}(c'' - \frac{c'b'}{b}) + \frac{2}{c^2}(1 + \frac{c'^2}{b^2})$

Por lo tanto, el último término no se anula aunque $b(r) = 1$ y $c(r) = r$ que nos recuerda que, en coordenadas esféricas, el cambio de coordenadas temporales y espaciales no preserva el espacio de Minkowski.