¿Cómo se puede deducir una aproximación para la función de densidad de los números primos a partir de este teorema de Euler?

Question

El autor de Función Zeta de Riemann H.M. Edwards, dice:

1. Según Euler, $\sum_{p<x}\frac{1}{p}\sim \log(\log(x))$ cuando $x\longrightarrow\infty$ .

2. $\log(\log(x))=\int_{1}^{\log(x)} \frac{du}{u}=\int_{e}^{x} \frac{dv}{v\log(v)}$

por lo que (1) dice que la integral de $\frac{1}{v}$ en relación con la medida $\frac{dv}{\log(v)}$ diverge del mismo modo que la integral de $\frac{1}{v}$ en relación con el punto mesaure que asigna el peso $1$ a primos y peso $0$ a todos los demás puntos. En este sentido, (1) puede considerarse como que la densidad de primos es aproximadamente $\frac{1}{\log(v)}$ .

Y esto es lo que dice el autor. Sé que la fórmula de densidad para un número $x$ nos da la probabilidad de un número $y<x$ de ser primo, pero no sé cómo el autor identificó $\frac{1}{\log(v)}$ como la fórmula de la densidad (es una aproximación a la fórmula real de la densidad, lo sé). Da a entender que es un razonamiento trivial, pero no lo veo.

Creo que puede ser por el idioma: Soy estudiante de español, así que mi inglés no es demasiado bueno y es la primera vez que leo algo como "la integral de $\frac{1}{v}$ en relación con la medida $\frac{dv}{\log(v)}$ diverge de la misma manera ". No tengo claro lo que significa, así que quiero utilizar esta pregunta para dos cosas: averiguar cómo identificó el autor la fórmula de la densidad y aprender algo de vocabulario técnico en inglés.

Gracias.

Answer 1

Lo que Edwards intenta decir es lo siguiente: el Teorema de los Números Primos, es decir, la relación $\pi(x)\sim x/\log x$ implica el resultado anterior de Euler de que $\sum_{p<x}1/p\sim\log\log x$ . El teorema de los números primos dice que la densidad de primos alrededor de $x$ es $1/\log x$ y el resultado de Euler es una versión débil del mismo (es decir, una consecuencia más fácil de probar).

Answer 2

Sea $d \pi$ sea la medida sobre $\mathbb{R}_{>0}$ que es una función delta de tamaño $1$ en los primos. En otras palabras, $\int_{y}^x d \pi = \pi(x) - \pi(y)$ . El teorema de los números primos es que $\pi(x)$ es aproximadamente la integral logarítmica, es decir, que $$\int^x d \pi \sim \int^x \tfrac{dt}{\log t}. \qquad (1)$$ He omitido los límites inferiores de las integrales porque no importan para la asintótica.

Una perspectiva común en la Teoría Analítica de Números es pensar entre diferentes medias ponderadas de $d \pi$ e intentar demostrar que se aproximan a las medias ponderadas correspondientes de $\tfrac{dt}{\log t}$ . Otra relación de este tipo es la siguiente $$\int^x \tfrac{d \pi}{t} = \int^x \tfrac{dt}{t \log t}+O(1). \qquad (2)$$ La relación (2) fue demostrada por Merten, pero anticipada por Euler, que escribió $$\sum_p \tfrac{1}{p} = \log \log \infty. \qquad (3)$$ Edwards escribe (página 2 en mi edición) que no está claro exactamente qué quería decir Euler con (3) -- podría haber sido (2), pero $\int^x \tfrac{d \pi}{t} \sim \int^x \tfrac{dt}{t \log t}$ es también una interpretación razonable -- pero Edwards está señalando (3) como posiblemente la primera declaración histórica que dice que $d \pi$ es aproximadamente $\tfrac{dt}{\log t}$ .

En esta parte del libro, Edwards discute la historia de la noción de que $d \pi$ et $\tfrac{dt}{\log t}$ son cercanos en algún sentido, antes de entrar en las diferentes formas en que se podría definir la cercanía. Por supuesto, la parte técnicamente difícil de la teoría analítica de los números primos es establecer las relaciones entre estas diferentes nociones de proximidad. `` aproximadamente la misma".