Aleph 0 como gran cardinal

Question

El primer cardinal infinito, $\aleph_0$ tiene muchas propiedades cardinales grandes (o tendría muchas propiedades cardinales grandes si no se excluyera deliberadamente). Por ejemplo, si no se impone la incontabilidad como parte de la definición, entonces $\aleph_0$ sería el primer cardinal inaccesible, el primer cardinal débilmente compacto, el primer cardinal mensurable y el primer cardinal fuertemente compacto. Esto no es universalmente cierto ( $\aleph_0$ no es un cardenal Mahlo), así que me pregunto hasta qué punto es un fenómeno extendido. ¿Qué propiedades de los grandes cardinales cumple $\aleph_0$ ¿cuáles no?

Hay una posición filosófica que he visto argumentar, que el universo conjunto-teórico debe ser uniforme, en el sentido de que si algo sucede en $\aleph_0$ entonces debería volver a ocurrir. He visto que se utiliza específicamente para argumentar a favor de la existencia de un cardinal inaccesible, por ejemplo. El mismo argumento puede aplicarse a los cardinales débilmente compactos, medibles y fuertemente compactos. ¿Son éstas las únicas nociones de cardinal grande en las que se puede hacer que funcione? (Trivialmente, el mismo argumento muestra que hay un segundo inaccesible, un segundo medible, etc., pero ¿cuándo lleva el argumento a un salto más sustancial?).

EDIT: Amit Kumar Gupta ha hecho un magnífico resumen de lo que ocurre con los grandes cardenales individuales. Tomando en serio el argumento filosófico, esto significa que hay una especie de ruptura en la jerarquía de los grandes cardinales. Si crees en este argumento para los grandes cardinales, entonces te llevará a creer en cosas como los cardinales de Ramsey, los cardinales inefables, etc. (ya que los cardinales medibles tienen todas esas propiedades), pero este argumento parece agotarse después de un número contable de cardinales fuertemente compactos. Esto no parece ser de interés en la investigación actual sobre teoría de conjuntos, pero me sigue pareciendo bastante interesante.

Answer 1

Probablemente esto no es algo que nadie sepa de memoria, así que quien vaya a responder a la pregunta simplemente mirará una lista de grandes axiomas cardinales y sus definiciones, e intentará ver cuáles se satisfacen con $\aleph _0$ y cuáles no. Probablemente tú podrías haberlo hecho tan bien como yo, pero decidí hacerlo porque sí.

En primer lugar, esto no cubre todos los axiomas cardinales grandes. En segundo lugar, muchos axiomas cardinales grandes tienen diferentes formulaciones que acaban siendo equivalentes para cardinales incontables, o quizás cardinales inaccesibles, pero pueden acabar siendo no equivalentes en el contexto de $\aleph _0$ . Así que incluso para los grandes cardenales que voy a mirar, puede que no mire todas las formulaciones posibles.

1. poco accesible - sí, obviamente
2. inaccesible - sí, obviamente
3. Mahlo - no, ya que los únicos "inaccesibles" finitos son 0, 1 y 2, como señala Michael Hardy en los comentarios, y los únicos subconjuntos estacionarios de $\omega$ son los cofinitos
4. débilmente compacta:
   • en el sentido del Teorema de la compacidad débil - sí, por el Teorema de la compacidad
   • en el sentido de ser inaccesible y tener la propiedad de árbol - sí, por el Lemma de Konig
   • en el sentido de $\Pi ^1 _1$ -indescriptibilidad - no, ni siquiera es $\Pi ^0 _2$ -indescriptible como atestigua la frase $\forall x \exists y (x \in y)$
5. indescriptible - no, ya que ni siquiera es $\Pi ^0 _2$ -indescriptible
6. Jonsson - no, el álgebra $(\omega, n \mapsto n \dot{-} 1)$ no tiene ninguna subálgebra infinita propia
7. Ramsey - no, la función $F : [\omega ]^{< \omega} \to \omega$ definido por $F(x) = 1$ si $|x| \in x$ et $0$ de lo contrario no tiene un conjunto homogéneo infinito
8. mensurable:
   • en el sentido de ultrafiltros - sí, por el Lemma de Zorn, y porque los filtros son $\omega$ -completa por definición, es decir, cerrada bajo intersecciones finitas
   • en el sentido de incrustaciones elementales - no, obviamente
9. fuerte - no, obviamente (tomando la definición elemental de incrustación)
10. Woodin - ídem
11. fuertemente compacta:
    • en el sentido del Teorema de la compacidad - sí, por el Teorema de la compacidad
    • en el sentido de ultrafiltros completos - sí, como en el caso de los mensurables
    • en el sentido de medidas finas - sí, por el Lemma de Zorn, y porque los filtros son $\omega$ -completo por definición
12. supercompacto:
    • en el sentido de medidas normales - no, si $x \subset \lambda$ es finito y $X$ es la colección de todos los subconjuntos finitos de $\lambda$ que contienen $x$ entonces la función $f : X \to \lambda$ definido por $f(y) = \max (y)$ es regresiva, pero para cualquier $Y \subset X$ si $f$ es constante en $Y$ con valor $\alpha$ entonces Y evita la colección de subconjuntos finitos de $\lambda$ que contienen $\{ \alpha + 1\}$ y por tanto Y no puede pertenecer a ninguna medida normal en $P_{\omega }(\lambda)$
    • en el sentido de incrustaciones elementales - no, obviamente
13. Vopenka - no, tomar modelos del lenguaje vacío de diferentes tamaños (finitos)
14. enorme - no, obviamente (tomando la definición elemental de incrustación)

Answer 2

Hay un sentido en el que los axiomas rank-into-rank podrían considerarse generilzaciones de $\omega$ . Woodin habló de ello en su artículo Modelos de extensores adecuados $I$ dada la siguiente conjetura, que denoto $(^*)$ .

$(^*)$ Supongamos que $V=\text{Ultimate}-L$ . Entonces hay $j: V_{\lambda+1}\prec V_{\lambda+1}$ sólo si $L(P(\lambda))\nvDash AC$ .

En la misma línea está la siguiente conjetura, descrita por Vincenzo Dimonte en $I0$ y los axiomas de rango a rango .

Pregunta 11.2: ¿Es cierto que $\text{Ultimate}-L\vDash I0(\lambda)$ sólo si $\text{Ultimate}-L\vDash L(V_{\lambda+1})\nvDash AC$ ?

Si cualquiera de las dos cosas fuera cierta, sería una afirmación impactante de la existencia de $I1$ et $I0$ cardinales respectivamente (Suponiendo que la prueba no demuestre que no hay ninguno). La razón es que si $V=\text{Ultimate}-L$ entonces existe una clase propia de cardinales de Woodin y así en particular $L(\mathbb R)=L(P(\omega))=L(V_{\omega+1})\vDash AD$ y así $L(P(\omega))=L(V_{\omega+1})\nvDash AC$ .

Esto se corresponde con el sentido en el que no es el punto crítico $\kappa$ de $j: V_{\lambda+1}\prec V_{\lambda+1}$ que es importante, pero el $\lambda$ sí mismo. Tenga en cuenta que $\lambda$ es un límite fuerte de cofinalidad $\omega$ y también $\omega$ es un límite fuerte de cofinalidad $\omega$ y finalmente un teorema de Shelah es que si $\lambda$ es un límite fuerte de cofinalidad incontable, entonces $L(P(\lambda))\vDash AC$ .