Esto es fácil utilizando la función universal de la función suelo, es decir, si $\ x\in \Bbb R\ $ entonces $$\rm k\,\le\, \lfloor x \rfloor \color{#c00}\,\color{#c00}\iff\, k\,\le\, x,\ \ \ for\ \ all\ \ k\in \mathbb Z\qquad\ \ $$ Por lo tanto, para $\rm\:n\in \mathbb Z,\,\ x\in \mathbb R,$
$ $ $$\smash[t]{{\rm\begin{eqnarray} &\rm \quad k &\le&\ \rm\ \lfloor x+n\rfloor \\ \color{#c00}\iff& \quad\rm k &\le&\ \ \ \ \rm x+n \\ \iff&\quad \rm k-n\,\ &\le&\ \ \rm\ \ x \\ \color{#c00}\iff&\quad \rm k-n\,\ &\le&\ \rm\ \lfloor x\rfloor \\ \color{}\iff&\quad \rm k &\le&\ \rm\ \lfloor x\rfloor+n \\ \end{eqnarray}}}$$
Observación $\ $ Véase esta respuesta para ver otro ejemplo y profundizar en el tema.
Y he aquí otro ejemplo de esta pregunta borrada: Demostrar que si $m$ et $n$ son enteros positivos, y $x$ es un número real, entonces: $$\left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor+n}m\right\rfloor = \left\lfloor\frac{x+n}m\right\rfloor$$
Esto es sencillo utilizando la función universal propiedad del suelo función, a saber $$\rm k\le \lfloor r \rfloor \color{#c00}\iff k\le r,\ \ \ for\ \ \ k\in \mathbb Z,\ r\in \mathbb R$$ Así, para $\rm\ k,m,n\in \mathbb Z,\,\ m>0,\,\ x\in \mathbb R,\ $
$$\rm\,\begin{array}{rrrl} &\rm k &\le&\!\rm\ \color{#0a0}{\lfloor (\lfloor x\rfloor + n)/m\rfloor} \\ \color{#c00}\iff& \rm k &\le&\ \ \rm (\lfloor x\rfloor + n)/m \\ \iff& \rm mk &\le&\ \ \ \rm \lfloor x\rfloor + n \\ \iff& \rm mk-n &\le&\ \ \rm\ \lfloor x\rfloor \\ \color{#c00}\iff& \rm mk-n &\le&\ \ \rm\ \ \, x \\ \iff& \rm mk &\le&\quad\,\rm x + n \\ \iff& \rm k &\le&\ \ \ \rm (x + n)/m \\ \color{#c00}\iff& \rm k &\le&\ \ \rm\color{blue}{\lfloor (x + n)/m\rfloor} \\ \end{array}$$
Entonces, por lo anterior, concluimos que $\, \rm \color{#0a0}{\lfloor (\lfloor x\rfloor + n)/m\rfloor}\ =\rm\ \ \color{blue}{\lfloor (x + n)/m\rfloor} $
