Supongamos que tenemos dos variables aleatorias tales que $$X_1 \sim N(\mu_1, \sigma^2_1) \text{ and } X_2 \sim N(\mu_2, \sigma^2_2).$$
Si $X_1$ et $X_2$ son independientes, entonces para cualquier $a, b$ $$aX_1 + bX_2 \sim N(a \mu_1 + b\mu_2, a^2\sigma^2_1 + b^2\sigma^2_2). $$
Esto es por propiedades de varianza y expectativa, y que la suma de dos normales independientes es una normal. La interpretación de esto no es que se estén combinando las distribuciones muestrales, sino que, de hecho, si escalamos y sumamos las variables aleatorias ellos mismos, entonces terminará con esa distribución de muestreo.
Si te dieras cuenta $x_1$ para $X_1$ a través de un experimento y debían hacer $95\%$ intervalos de confianza para $\mu_1$ usando esto, la forma estándar de hacerlo te daría $$ x_1 \pm 1.96 \sqrt{\sigma^2_1}. $$
Ahora, de manera similar usted corrió un experimento Binomial, y sobre $n_1$ sorteos contaron el número de aciertos. $\hat{p}_1$ es tu media (proporción), y la distribución muestral para esto es aproximadamente $$\hat{p}_1 \sim N\left(p_1, \dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} \right). $$
Del mismo modo, para el segundo experimento $$\hat{p}_2 \sim N\left(p_2, \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2} \right). $$
Si ahora necesita encontrar un intervalo de confianza para $p_1 - p_2$ necesitas su distribución muestral aproximada. Así que deja que $a = 1$ et $b = -1$ .
$$\hat{p_1} - \hat{p_2} \sim N\left( p_1 - p_2, \dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2} \right).$$
La interpretación de esta distribución muestral es que si se obtiene una muestra de tamaño $n_1 = 30$ de la primera población y calcular $\hat{p}_1$ y obtener otra muestra de la segunda población de tamaño $n_2 = 50$ y calcula $\hat{p_2}$ repite este experimento 1000 veces y anota $\hat{p_1} - \hat{p_2}$ entonces estos valores seguirán aproximadamente esa distribución de muestreo. Hago esto en el siguiente código R.
set.seed(10)
## true values
p1 <- .2
p2 <- .3
n1 <- 30
n2 <- 50
diff_vector <- numeric(length = 1000)
for(i in 1:1000)
{
X1 <- rbinom(1,n1, p1)
phat1 <- X1/n1
X2 <- rbinom(1,n2, p2)
phat2 <- X2/n2
diff_vector[i] <- phat1 - phat2
}
## parameters of the sampling distribution
diff_mean <- p1 - p2
diff_var <- p1*(1-p1)/n1 + p2*(1-p2)/n2
x <- seq(-.8, .6, length = 1000)
y <- dnorm(x, mean = diff_mean, sd = sqrt(diff_var))
plot(x, y, type = "l")
lines(density(diff_vector), col = "red")
El gráfico siguiente es el resultado que se obtiene. La línea negra es la distribución de muestreo esperada, y la línea roja es la distribución obtenida mediante el experimento. Verás que se superponen. Si examinas el código comprenderás que he calculado la diferencia $\hat{p}_1 - \hat{p_2}$ sobre 1000 experimentos, y luego sólo trazó la densidad.
![enter image description here]()
Utilizando esta distribución de muestreo se sabe que una norma $95\%$ intervalo de confianza para $p_1 - p_2$ será $$\hat{p}_1 - \hat{p}_2 \pm 1.96 \sqrt{ \dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$
Esto sigue igual que antes.
