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¿Para qué categorías existe el lema de Goursat?

Fondo

Uno de mis resultados elementales favoritos en teoría de grupos es Lemma de Goursat . Este lema caracteriza los subgrupos de un producto directo de grupos en términos de productos fibrados.

En efecto, dejemos que LL y RR sean grupos y que G<L×RG<L×R sea un subgrupo de su producto directo. Tenemos proyecciones naturales πL:L×RLπL:L×RL y πR:L×RRπR:L×RR . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que πLπL y πRπR son suryectivas cuando se restringen a GG . Sea L0=πL(GkerπR)L0=πL(GkerπR) y R0=πR(GkerπL)R0=πR(GkerπL) denotan, respectivamente, subgrupos normales de LL y RR . El lema de Goursat es la observación de que GG define un isomorfismo L/L0R/R0L/L0R/R0 .

Prueba : Si xLxL , dejemos que yRyR sea tal que (x,y)G(x,y)G . Tal yy existe debido a la subjetividad de πL:GLπL:GL pero no tiene por qué ser único. No obstante, el coset yR0yR0 está bien definida. Este procedimiento define entonces un homomorfismo LR/R0LR/R0 cuyo núcleo es precisamente L0L0 y que es suryectiva porque πR:GRπR:GR es.

Si dejamos que λ:L/L0Fλ:L/L0F y ρ:R/R0Fρ:R/R0F sean isomorfismos del mismo grupo abstracto FF entonces podemos identificar GG con el producto fibrado G={(x,y)L×R | λ(xL0)=ρ(yR0)}.G={(x,y)L×R | λ(xL0)=ρ(yR0)}.

Existen resultados similares para las subálgebras de Lie de una suma directa de álgebras de Lie, y probablemente también en otras categorías. Esto sugiere el siguiente lema categórico:

"los subobjetos de un producto son pullbacks"

(Bueno, al menos subobjetos con la propiedad de que la composición con los epis en el producto son también epis).

Por supuesto, esto no va a ser cierto en todas las categorías, lo que suscita la siguiente pregunta.

Pregunta

Sea CC sea una categoría y L,RL,R sean objetos cuyo producto L×RL×R existe. Sea GL×RGL×R sea un monomorfismo tal que las composiciones GL×RLGL×RL y GL×RRGL×RR son epimorfismos.

¿Qué debemos exigir a CC de modo que existen epimorfismos LFLF y RFRF tal que GLRF ¿es un retroceso?

Epílogo

Uno estaría tentado de llamar a estas categorías Categorías Goursat pero, por desgracia, el nombre parece estar ya cogido para lo que parece un concepto diferente.

Gracias de antemano.

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chadmyers Puntos 3010

Para simplificar, supongamos que existen límites y colímites finitos. Si trabajamos con epimorfismos regulares en lugar de epimorfismos, entonces tu condición equivale a decir que para dos epimorfismos (regulares) cualesquiera GL y GR , si formas el pushout F entonces la comparación canónica de G al retroceso L×FR es un epimorfismo regular.

Esto es cierto en cualquier categoría exacta de Mal'cev: véase el teorema 5.7 de

Carboni, Kelly y Pedicchio, Some remarks on Maltsev and Goursat categories, Applied Categorical Structures 1:385-421, 1993.

Aquí exacto significa que la categoría (i) tiene límites finitos (ii) tiene factorizaciones epi-mono regulares (iii) el pullback de un epi regular es un epi regular (iv) cualquier relación de equivalencia es el par kernel de algún mapa (se puede elegir que el mapa sea el coigualador) y Mal'cev puede caracterizarse de muchas maneras. Por ejemplo, dice que si R y S son relaciones de equivalencia sobre algún objeto A, entonces RS=SR.

De hecho, si la categoría es regular, en el sentido de que (i)-(iii) se cumplen, entonces su condición es equivalente a ser exacta y Mal'cev.

Por cierto, las categorías Goursat que mencionas son sólo ligeramente más débiles: tienen RSR=SRS en lugar de RS=SR. Puedes demostrar tu condición para las categorías de Goursat si supones que al menos una de GL y GR es un epimorfismo partido (es decir, tiene una sección), y de hecho esto se puede utilizar para caracterizar las categorías de Goursat. Véase texto del enlace

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