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Uno de mis resultados elementales favoritos en teoría de grupos es Lemma de Goursat . Este lema caracteriza los subgrupos de un producto directo de grupos en términos de productos fibrados.
En efecto, dejemos que $L$ y $R$ sean grupos y que $G < L \times R$ sea un subgrupo de su producto directo. Tenemos proyecciones naturales $\pi_L : L \times R \to L$ y $\pi_R: L \times R \to R$ . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\pi_L$ y $\pi_R$ son suryectivas cuando se restringen a $G$ . Sea $L_0 = \pi_L(G \cap \ker\pi_R)$ y $R_0 = \pi_R(G \cap \ker\pi_L)$ denotan, respectivamente, subgrupos normales de $L$ y $R$ . El lema de Goursat es la observación de que $G$ define un isomorfismo $L/L_0 \cong R/R_0$ .
Prueba : Si $x \in L$ , dejemos que $y \in R$ sea tal que $(x,y) \in G$ . Tal $y$ existe debido a la subjetividad de $\pi_L : G \to L$ pero no tiene por qué ser único. No obstante, el coset $y R_0$ está bien definida. Este procedimiento define entonces un homomorfismo $L \to R/R_0$ cuyo núcleo es precisamente $L_0$ y que es suryectiva porque $\pi_R : G \to R$ es.
Si dejamos que $\lambda: L/L_0 \to F$ y $\rho: R/R_0 \to F$ sean isomorfismos del mismo grupo abstracto $F$ entonces podemos identificar $G$ con el producto fibrado $$ G = \lbrace (x,y) \in L \times R ~|~ \lambda(x L_0) = \rho(y R_0) \rbrace .$$
Existen resultados similares para las subálgebras de Lie de una suma directa de álgebras de Lie, y probablemente también en otras categorías. Esto sugiere el siguiente lema categórico:
"los subobjetos de un producto son pullbacks"
(Bueno, al menos subobjetos con la propiedad de que la composición con los epis en el producto son también epis).
Por supuesto, esto no va a ser cierto en todas las categorías, lo que suscita la siguiente pregunta.
Pregunta
Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría y $L,R$ sean objetos cuyo producto $L \times R$ existe. Sea $G \to L \times R$ sea un monomorfismo tal que las composiciones $G \to L \times R \to L$ y $G \to L \times R \to R$ son epimorfismos.
¿Qué debemos exigir a $\mathcal{C}$ de modo que existen epimorfismos $L \to F$ y $R \to F$ tal que $$\begin{matrix} G & \rightarrow & L \cr \downarrow & & \downarrow \cr R & \rightarrow & F \end{matrix} $$ ¿es un retroceso?
Epílogo
Uno estaría tentado de llamar a estas categorías Categorías Goursat pero, por desgracia, el nombre parece estar ya cogido para lo que parece un concepto diferente.
Gracias de antemano.
