¿Para qué categorías existe el lema de Goursat?

Question

Fondo

Uno de mis resultados elementales favoritos en teoría de grupos es Lemma de Goursat . Este lema caracteriza los subgrupos de un producto directo de grupos en términos de productos fibrados.

En efecto, dejemos que $L$ y $R$ sean grupos y que $G < L \times R$ sea un subgrupo de su producto directo. Tenemos proyecciones naturales $\pi_L : L \times R \to L$ y $\pi_R: L \times R \to R$ . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\pi_L$ y $\pi_R$ son suryectivas cuando se restringen a $G$ . Sea $L_0 = \pi_L(G \cap \ker\pi_R)$ y $R_0 = \pi_R(G \cap \ker\pi_L)$ denotan, respectivamente, subgrupos normales de $L$ y $R$ . El lema de Goursat es la observación de que $G$ define un isomorfismo $L/L_0 \cong R/R_0$ .

Prueba : Si $x \in L$ , dejemos que $y \in R$ sea tal que $(x,y) \in G$ . Tal $y$ existe debido a la subjetividad de $\pi_L : G \to L$ pero no tiene por qué ser único. No obstante, el coset $y R_0$ está bien definida. Este procedimiento define entonces un homomorfismo $L \to R/R_0$ cuyo núcleo es precisamente $L_0$ y que es suryectiva porque $\pi_R : G \to R$ es.

Si dejamos que $\lambda: L/L_0 \to F$ y $\rho: R/R_0 \to F$ sean isomorfismos del mismo grupo abstracto $F$ entonces podemos identificar $G$ con el producto fibrado $$G = \lbrace (x,y) \in L \times R ~|~ \lambda(x L_0) = \rho(y R_0) \rbrace .$$

Existen resultados similares para las subálgebras de Lie de una suma directa de álgebras de Lie, y probablemente también en otras categorías. Esto sugiere el siguiente lema categórico:

"los subobjetos de un producto son pullbacks"

(Bueno, al menos subobjetos con la propiedad de que la composición con los epis en el producto son también epis).

Por supuesto, esto no va a ser cierto en todas las categorías, lo que suscita la siguiente pregunta.

Pregunta

Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría y $L,R$ sean objetos cuyo producto $L \times R$ existe. Sea $G \to L \times R$ sea un monomorfismo tal que las composiciones $G \to L \times R \to L$ y $G \to L \times R \to R$ son epimorfismos.

¿Qué debemos exigir a $\mathcal{C}$ de modo que existen epimorfismos $L \to F$ y $R \to F$ tal que $$\begin{matrix} G & \rightarrow & L \cr \downarrow & & \downarrow \cr R & \rightarrow & F \end{matrix}$$ ¿es un retroceso?

Epílogo

Uno estaría tentado de llamar a estas categorías Categorías Goursat pero, por desgracia, el nombre parece estar ya cogido para lo que parece un concepto diferente.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para simplificar, supongamos que existen límites y colímites finitos. Si trabajamos con epimorfismos regulares en lugar de epimorfismos, entonces tu condición equivale a decir que para dos epimorfismos (regulares) cualesquiera $G\to L$ y $G\to R$ , si formas el pushout $F$ entonces la comparación canónica de $G$ al retroceso $L\times_F R$ es un epimorfismo regular.

Esto es cierto en cualquier categoría exacta de Mal'cev: véase el teorema 5.7 de

Carboni, Kelly y Pedicchio, Some remarks on Maltsev and Goursat categories, Applied Categorical Structures 1:385-421, 1993.

Aquí exacto significa que la categoría (i) tiene límites finitos (ii) tiene factorizaciones epi-mono regulares (iii) el pullback de un epi regular es un epi regular (iv) cualquier relación de equivalencia es el par kernel de algún mapa (se puede elegir que el mapa sea el coigualador) y Mal'cev puede caracterizarse de muchas maneras. Por ejemplo, dice que si R y S son relaciones de equivalencia sobre algún objeto A, entonces RS=SR.

De hecho, si la categoría es regular, en el sentido de que (i)-(iii) se cumplen, entonces su condición es equivalente a ser exacta y Mal'cev.

Por cierto, las categorías Goursat que mencionas son sólo ligeramente más débiles: tienen RSR=SRS en lugar de RS=SR. Puedes demostrar tu condición para las categorías de Goursat si supones que al menos una de $G\to L$ y $G\to R$ es un epimorfismo partido (es decir, tiene una sección), y de hecho esto se puede utilizar para caracterizar las categorías de Goursat. Véase texto del enlace