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Uno de mis resultados elementales favoritos en teoría de grupos es Lemma de Goursat . Este lema caracteriza los subgrupos de un producto directo de grupos en términos de productos fibrados.
En efecto, dejemos que LL y RR sean grupos y que G<L×RG<L×R sea un subgrupo de su producto directo. Tenemos proyecciones naturales πL:L×R→LπL:L×R→L y πR:L×R→RπR:L×R→R . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que πLπL y πRπR son suryectivas cuando se restringen a GG . Sea L0=πL(G∩kerπR)L0=πL(G∩kerπR) y R0=πR(G∩kerπL)R0=πR(G∩kerπL) denotan, respectivamente, subgrupos normales de LL y RR . El lema de Goursat es la observación de que GG define un isomorfismo L/L0≅R/R0L/L0≅R/R0 .
Prueba : Si x∈Lx∈L , dejemos que y∈Ry∈R sea tal que (x,y)∈G(x,y)∈G . Tal yy existe debido a la subjetividad de πL:G→LπL:G→L pero no tiene por qué ser único. No obstante, el coset yR0yR0 está bien definida. Este procedimiento define entonces un homomorfismo L→R/R0L→R/R0 cuyo núcleo es precisamente L0L0 y que es suryectiva porque πR:G→RπR:G→R es.
Si dejamos que λ:L/L0→Fλ:L/L0→F y ρ:R/R0→Fρ:R/R0→F sean isomorfismos del mismo grupo abstracto FF entonces podemos identificar GG con el producto fibrado G={(x,y)∈L×R | λ(xL0)=ρ(yR0)}.G={(x,y)∈L×R | λ(xL0)=ρ(yR0)}.
Existen resultados similares para las subálgebras de Lie de una suma directa de álgebras de Lie, y probablemente también en otras categorías. Esto sugiere el siguiente lema categórico:
"los subobjetos de un producto son pullbacks"
(Bueno, al menos subobjetos con la propiedad de que la composición con los epis en el producto son también epis).
Por supuesto, esto no va a ser cierto en todas las categorías, lo que suscita la siguiente pregunta.
Pregunta
Sea CC sea una categoría y L,RL,R sean objetos cuyo producto L×RL×R existe. Sea G→L×RG→L×R sea un monomorfismo tal que las composiciones G→L×R→LG→L×R→L y G→L×R→RG→L×R→R son epimorfismos.
¿Qué debemos exigir a CC de modo que existen epimorfismos L→FL→F y R→FR→F tal que G→L↓↓R→F ¿es un retroceso?
Epílogo
Uno estaría tentado de llamar a estas categorías Categorías Goursat pero, por desgracia, el nombre parece estar ya cogido para lo que parece un concepto diferente.
Gracias de antemano.