¿Qué hay de malo en esta prueba de $3\arcsin x$ ?

Question

Sabemos que \begin{align} 2\arcsin x&= \arcsin \left(2x\sqrt{1-x^2}\right) \tag{1}\\ \arcsin x + \arcsin y &= \arcsin \left[x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right] \tag{2}\\ 3\arcsin x &= \arcsin x + 2\arcsin x \tag{3} \end{align} Así $x=x, y=2x\sqrt{1-x^2}$ utilizando ( $1$ ), ( $2$ ) y ( $3$ ): \begin{align} 3\arcsin x &= \arcsin \left[x\sqrt{1-2x\sqrt{1-x^2}^2}+ 2x(1-x^2)\right]\\ &= \arcsin \left[x\sqrt{1-4x^2(1-x^2)}+ 2x(1-x^2)\right]\\ &= \arcsin \left[x\sqrt{1-2(2x^2)+(2x^2)^2}+ 2x(1-x^2)\right]\\ &= \arcsin \left[x\sqrt{(2x^2-1)^2}+ 2x(1-x^2)\right]\\ &= \arcsin \left[x|2x^2-1|+ 2x(1-x^2)\right] \end{align}

Si $2x^2-1$ es positivo, entonces $|2x^2-1|$ es $2x^2 -1$ .

Si $2x^2-1$ es negativo, entonces $|2x^2-1|$ es $-2x^2+1$ .

Gama de $x$ es $-1\leq x \leq 1 \implies 0\leq x^2 \leq 1 \implies 0\leq 2x^2 \leq 2$ .

Para $x\in\left(\frac{-1}{\sqrt2}, \frac{+1}{\sqrt2}\right)$ entonces $2x^2-1$ es negativo.

Para $x\in\left(-1, \frac{-1}{\sqrt2}\right) \cup \left(\frac{+1}{\sqrt2}\ , 1\right)$ entonces $2x^2-1$ es positivo.

Así, para $x\in\left( \frac{-1}{\sqrt2}, \frac{+1}{\sqrt2}\right)$ \begin{align} 3\arcsin x &= \arcsin [x|2x^2-1|+ 2x(1-x^2)]\\ &= \arcsin \left[-2x^3 +x+ 2x(1-x^2)\right]\\ &= \arcsin [3x - 4x^3] \end{align} Así, para $x\in\left(-1, \frac{-1}{\sqrt2}\right) \cup \left(\frac{+1}{\sqrt2}, 1\right)$ \begin{align} 3\arcsin x &= \arcsin [x|2x^2-1|+ 2x(1-x^2)]\\ &= \arcsin [2x^3- x+2x-2x^3]\\ &= \arcsin[x] \end{align} Pero claramente, $3\arcsin x = \arcsin[3x-4x^3]$ .

¿Qué hay de malo en esta prueba?

Answer 1

Para todo positivo $x$ (el caso de $x$ es simétrica), $$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x.$$

Así que con $x=\arcsin t$ tenemos

$$\sin(3\arcsin t)=3t-4t^3.$$

Esto nos permite escribir

$$3\arcsin t=\arcsin(3t-4t^3)\lor3\arcsin t=\pi-\arcsin(3t-4t^3).$$

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Como el rango del arco seno es $\left[0,\dfrac\pi2\right]$ la primera identidad se cumple hasta $\arcsin t=\dfrac\pi6$ es decir, para $t\in\left[0,\dfrac12\right]$ entonces viene la segunda identidad, para $t\in\left[\dfrac12,1\right]$ .

$$3\arcsin t=\begin{cases} t\le-\dfrac12&\to-\pi-\arcsin(3t-4t^3), \\-\dfrac12\le t\le\dfrac12&\to\arcsin(3t-4t^3), \\t\le\dfrac12&\to\pi-\arcsin(3t-4t^3).\end{cases}$$

Answer 2

Un punto de vista geométrico podría ser esclarecedor.

Supongamos que $0\leq x \leq \frac{1}{\sqrt 2}$ . Consideremos la figura siguiente, en la que partimos de un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ con laterales $\overline{AB} = \sqrt{1-x^2}$ y $\overline{BC} = x$ y la hipotenusa $\overline{AC}=1$ . La elección de $x$ hemos garantizado que $$ \alpha = \angle BAC$$ está en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{4}\right].$ Por definición es $$ \alpha = \arcsin x.$$ Extender primero $CB$ a un segmento $BD \cong BC$ y, a continuación, extraer de $D$ la línea perpendicular a $AD$ que interseca la extensión de $AC$ en $E$ . Finalmente extraiga de $C$ la perpendicular a $BC$ que cumple $ED$ en $F$ .

Defina \begin{equation}\beta = \angle CAD = 2\alpha.\tag{1}\label{eq:1}\end{equation} Tenemos, por definición, \begin{equation}\beta = \arcsin \left(\frac{\overline{ED}}{\overline{AE}}\right).\tag{2}\label{eq:2}\end{equation}

En $\triangle DCF \sim \triangle ABC$ encontrar $$\overline{CF} = \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$ y $$\overline{DF} = \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

By Teorema de Pitágoras on $\triangle ADE$ y por $\triangle CEF \sim \triangle CED$ \begin{equation} \begin{cases} 1+\overline{ED}^2 = (1+ \overline{EC})^2\\ \overline{EC} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\overline{ED}. \end{cases} \end{equation} Resolviendo el sistema se obtiene $$\overline{ED} = \frac{2x\sqrt{1-x^2}}{1-2x^2}$$ y $$\overline{AC} = 1 + \overline{EC} = \frac{1}{1-2x^2}.$$ Utilizando estos resultados en \eqref {eq:2} y luego cosiderando la identidad \eqref {eq:1} conduce a $$2\arcsin x = \arcsin \left(2x\sqrt{1-x^2}\right).$$

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Para $\frac{1}{\sqrt 2} \leq x \leq 1$ consideraría el triángulo siguiente, en el que de nuevo $\overline{BC} = x$ , $\overline{AC} = 1$ y $D$ es el punto simétrico a $C$ con respecto a la línea $AB$ . Extraiga entonces de $C$ la perpendicular a $AD$ que cumple su extensión en $E$ . Definir entonces $\alpha$ como antes y $$\beta = \angle CAE = \pi - \angle CAD = \pi -2\alpha.$$ Utilice entonces el hecho de que $\sin \beta = \sin 2\alpha$ .

Por último, en caso de $x$ sólo definir $\overline{BC} = -x$ y proceder como arriba, aprovechando la simetría seno impar.

Answer 3

El problema es un conflicto entre estas dos líneas:

$2\arcsin x= \arcsin(2x\sqrt{1-x^2}) \tag1$

y

Así, para $x\in\left(-1, \frac{-1}{\sqrt2}\right) \cup \left(\frac{+1}{\sqrt2}, 1\right)$

El problema es que si $\frac1{\sqrt2} < \lvert x \rvert < 1,$ entonces $\frac\pi4 < \lvert\arcsin x\rvert < \frac\pi2,$ y por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación $(1)$ obedece a $$ \frac\pi2 < \lvert2\arcsin x\rvert < \pi.$$ Pero el derecha lado de $(1)$ no es más que una aplicación del arco seno a un número, que debe obedecer las condiciones $$ \lvert \arcsin (2x\sqrt{1-x^2}) \rvert \leq \frac\pi2.$$ Por lo tanto, es imposible que $(1)$ sea cierto cuando $x\in\left(-1, -\,\frac{1}{\sqrt2}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt2}, 1\right).$ Eso significa que todo lo que concluyó utilizando $(1)$ -es decir, todo lo que hay después de las primeras líneas- es inaplicable al caso $x\in\left(-1, -\,\frac{1}{\sqrt2}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt2}, 1\right).$ Utilizando $(1),$ restringes la validez de tu argumento sólo al caso en el que $-\frac\pi4 \leq \arcsin x \leq \frac\pi4,$ es decir, $x \in \left(-\,\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right).$

La línea

$ 3\arcsin x= \arcsin\left[x\sqrt{1-\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)^2}+ 2x(1-x^2)\right] $

restringe aún más la aplicabilidad de su argumento, porque de nuevo el lado derecho tiene magnitud como máximo $\frac\pi2,$ lo que significa $\arcsin x$ sólo puede tener una magnitud máxima de $\frac\pi6.$ Así que incluso la línea

Así, para $x\in\left(\frac{-1}{\sqrt2},\frac{+1}{\sqrt2}\right)$

no es correcto; todo lo que has escrito después de las primeras líneas sólo es aplicable para $-\frac12 \leq x \leq \frac12,$ así que deberías haber escrito, "Así para $x \in \left[-\frac12,\frac12\right]$ ". Para otros $x$ puede seguir la respuesta de Yves Daoust.