Prueba $\sqrt{ \frac{2x^2 - 2x + 1}{2} } \geq \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$ para $0 < x < 1$

Question

Me topé con esta pregunta mientras hacía preguntas de práctica sobre desigualdades, y no sé cómo empezar...

Problema: Demuestre que

\begin{align*} \sqrt{ \frac{2x^2 - 2x + 1}{2} } \geq \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \end{align*} para $0 < x < 1$ .

Pensé posiblemente en tener una igualdad intermedia, por ejemplo

\begin{align*} \sqrt{\frac{2x^2-2x+1}{2}}\ge\text{something}\ge\frac{1}{x+\frac{1}{x}} \end{align*}

donde el "algo" es sencillo, pero no he podido deducir nada... cualquier ayuda será apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Pistas:

Observe que $\sqrt{2x^2-2x+1}=\sqrt{x^2+(x-1)^2} \ge \sqrt{(\frac{x+1-x}{2})^2}=\frac12$ y $\frac{1}{x+\frac1x}\le \frac{1}{2x\frac1x}=\frac12$

Answer 2

Esta desigualdad es válida para todos los $x>0$ . De hecho $,$ $$ \frac{(x+\frac{1}{x})^2(2x^2-2x+1)}{2}-1$$

$$={\frac {2 \ \left( 2\ x-1 \right) ^{2}{x}^{2}+ \left( x-1 \right) ^{4} \left( x+1 \right) ^{2}+{x}^{2} \left( x-1 \right) ^{2} \left( x+1 \right) ^{2}}{2{x}^{2}}} \geqq 0$$