¿Cuál es el menor número natural desconocido?

Question

Hay varios números desconocidos en matemáticas, como las constantes óptimas en algunas desigualdades. A menudo es suficiente con algunas estimaciones para estos números desde arriba y desde abajo, pero encontrar los valores exactos también es interesante. Hay situaciones en las que esos números desconocidos son necesariamente números naturales, por ejemplo en la teoría de Ramsey. Por ejemplo, sabemos que hay un número entero más pequeño $n$ tal que cualquier gráfico con $n$ vértices contiene un subgrafo completo o independiente de 10 vértices, pero no sabemos el valor exacto de $n$ .

¿Qué tipos de números enteros pequeños desconocidos (menos de 100, por ejemplo) existen? ¿Cuáles son las constantes desconocidas más pequeñas que se sabe que son números enteros? O, más rigurosamente, ¿cuál es el límite superior más pequeño para un número desconocido pero definible que se sabe que es un entero?

Sé que preguntar por el menor número entero desconocido está mal definido, ya que no conocemos los valores exactos. La versión más rigurosa de la pregunta está bien planteada, pero no quiero impedir que nadie ofrezca ejemplos interesantes aunque esté claro que no van a ganar la carrera por el límite superior más pequeño.

La respuesta debe contener una definición de una cantidad entera (o una familia de ellas) y unos límites inferior y superior conocidos (ambos deben ser enteros, no infinitos). Las conjeturas sobre el valor real también son bienvenidas. He dado un ejemplo a continuación para dar una idea de lo que estoy buscando.

Answer 1

El hueco primo más pequeño que se produce con una frecuencia infinita, o

$$\liminf_{n\to\infty}\; (p_{n+1} - p_n)$$

se desconoce por ahora. Lo más probable es que sea $2$ pero la conjetura de los primos gemelos aún no se ha resuelto.

Gracias al trabajo de Yitang Zhang y las mejoras posteriores de otros (en particular James Maynard y Terence Tao ), sabemos que algunos huecos primos se producen con una frecuencia infinita. Zhang demostró que los huecos no mayores de 70 millones ocurren con una frecuencia infinita, y las mejoras redujeron el límite a $246$ (quizás haya habido otras mejoras recientes que desconozco).

Answer 2

El número cromático $\chi$ del plano satisface $4 \le \chi \le 7$ es decir, $\chi \in \{4,5,6,7\}$ . El problema se conoce como Problema de Hadwiger-Nelson :

¿Cuál es el el número mínimo de colores necesarios para colorear el plano de manera que no haya dos puntos separados por una distancia de exactamente $1$ se les asigna el mismo color?

La coloración de abajo, debida a John Isbell, muestra que $\chi \le 7$ :

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          (Imagen de mathpuzzle.com . Los círculos mostrados tienen radio unitario).

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Y la 4-colorabilidad del gráfico de la distancia unitaria, el Husillo Moser , muestra que $\chi \ge 4$ :

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Actualización ( 16 Abr 2018 ): Aubrey de Grey construyó un gráfico de distancia unitaria de $1567$ vértices que tiene número cromático $5$ . Ver este puesto de Adam Goucher . Esto mejora el husillo Moser, por lo que ahora sabemos que $\chi \ge 5$ es decir, ahora $\chi \in \{5,6,7\}$ .

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      de Grey, Aubrey DNJ. "El número cromático del plano es al menos $5$ ." arXiv:1804.02385 (2018).

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Answer 3

¿Qué tal el problema concreto de entender cuántas esferas (no intersectadas) pueden tocar a otra esfera en dimensiones bajas? Esto se conoce como el problema del número del beso y está abierto en la dimensión $5$ .

En la dimensión $2$ el número de besos es $6$ dado por el mosaico hexagonal del plano:

En la dimensión $3$ el número de besos es $12$ que viene dada por las esferas en los vértices de la icosaedro . Tenga en cuenta que en realidad hay tanto espacio extra en la dimensión $3$ que podemos intercambiar dos esferas cualesquiera mediante un movimiento continuo que deje todas las esferas sin intersecar y tocando la esfera central. En la dimensión $4$ la configuración óptima del número de besos tiene $24$ esferas, dadas por los vértices de la $24$ -célula .

En cuanto a la dimensión $5$ todo lo que se sabe es que es al menos $40$ y como máximo $44$ . De hecho, las únicas otras dimensiones para las que conocemos el valor del problema del número besador son $8$ y $24$ y esto se debe a las extraordinarias simetrías del $E_8$ y Sanguijuela celosías.

Answer 4

Números de Ramsey dan los tamaños más pequeños de los grafos que garantizan que siempre se puedan encontrar ciertos tipos de subgrupos de un tamaño determinado. Más concretamente, $R(k,l)$ es el menor número entero tal que cualquier gráfico con al menos tantos vértices contiene un subgrafo completo de $k$ vértices o un subgrafo independiente de $l$ vértices.

Algunos valores pequeños son conocidos, pero hay otros desconocidos sorprendentemente pequeños. Por ejemplo:

• $36\leq R(4,6)\leq41$
• $43\leq R(5,5)\leq48$ 1

Revista electrónica de combinatoria tiene un estudio dinámico de los pequeños números de Ramsey que puede consultar para obtener más detalles y nuevos límites.

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1 En el momento de escribir esta respuesta el límite era $49$ . Vigleik Angeltveit y Brendan D. McKay publicaron un preimpresión el 26 de marzo de 2017, demostrando $R(5,5)\leq 48$ . El valor se ha actualizado también en la encuesta dinámica. Si hay cambios en los números relevantes en la encuesta, no dudes en editarlos. (También se pueden mencionar otras fuentes de actualización, pero restringiré los números listados a los valores de la encuesta por coherencia).

Answer 5

Considere el siguiente problema:

Encuentre el más pequeño $n$ tal que todo número $k\geq3n$ con la misma paridad que $n$ puede escribirse como la suma de $n$ Primas Impares.

• $n=1$ es trivialmente falso, porque afirma que todo número impar es primo.
• Para $n=2$ es la Conjetura de Goldbach.
• Para $n=3$ es la conjetura débil de Goldbach, demostrada en 2013.

Así que la respuesta está en el conjunto $\{2,3\}$ .