Para un número entero positivo dado $N$ deje $L(N)$ denota el subgrupo de congruencia principal de $\operatorname{SL}(2, \mathbb{Z})$ de nivel $N$ . Se sabe que $L(N)$ es un grupo libre finitamente generado. Sea $T(N)$ denotan el número mínimo de generadores. Sea $r$ sea un número estrictamente inferior a $T(N)$ .
Pregunta: ¿Existe una congruencia subgrupo $L$ de $L(N)$ tal que el número mínimo de generadores de $L(N)/L$ es como mínimo $r$ ?
$\DeclareMathOperator\SL{SL}$ No siempre. Para simplificar, tomemos $N$ un gran primo $p$ . Siguiendo la sugerencia del usuario44191 en el comentarios Toma $r$ ser $T(N)-1$ .
Dado que cualquier subgrupo de congruencia contiene un subgrupo de congruencia principal, podemos suponer que $L$ contiene un subgrupo de congruencia de principio. Podemos escribirlo como $L(p^e M)$ donde $M$ es relativamente primo de $M$ . Entonces
$$L(p)/ L(p^eM) = \SL_2( \mathbb Z/M) \times \ker ( \SL_2(\mathbb Z/p^e) \to \SL_2( \mathbb Z/p))$$
Ahora $\SL_2(\mathbb Z/M)$ es un cociente de $\SL_2(\mathbb Z)$ por lo que puede generarse mediante $2$ elementos. El núcleo $\ker ( \SL_2(\mathbb Z/p^e) \to \SL_2( \mathbb Z/p))$ es un $p$ -por lo que puede ser generado por un número de elementos igual a su $p$ -rank, que es $3$ . Así, el producto puede generarse mediante $5$ elementos. (De hecho, si somos cuidadosos, estoy bastante seguro de que podemos reducir esto a $3$ pero esto es innecesario).
En $p$ lo suficientemente grande como para que el subgrupo de congruencia principal $L(p)$ tiene más de $5$ generadores (es decir, tomando $p>3$ ), obtenemos un contraejemplo.
En los comentarios se pregunta si, para cada subgrupo de congruencia $L$ existen subgrupos de congruencia $L'' \subseteq L' \subseteq L$ tal que el número de generadores de $L'/ L''$ es al menos la mitad del número de generadores de $L$ .
La respuesta es no.
Para verlo, elijamos nuestro subgrupo de congruencia $L$ ser $L(p)$ para $p$ un primo grande como el anterior, y $T(p)$ el número de generadores de $L$ .
Sea $[L:L']$ sea el índice de $L'$ en $L$ . Porque $L(p)$ es un grupo libre en $T(p)$ generadores, su subgrupo $L'$ es un grupo libre en $(T(p)-1) [L: L']+ 1$ y, por tanto, tiene un rango de generador de al menos $(T(p)-1) [L: L']+ 1$ .
Por otra parte, dado que $L/ L''$ puede generarse mediante $5$ admite una suryección desde un grupo libre sobre $5$ generadores, por lo que su subgrupo $L'/L''$ de índice $[L:L']$ admite una suryección desde un grupo libre sobre $(5-1)[L:L']+1$ y, por lo tanto, tiene un rango de generador máximo de $4 [L:L']+1$ .
Para producir un contraejemplo, basta con tener
$$ 4 [L:L']+1 < \frac{ (T(p)-1) [L: L']+ 1}{2} $$
para lo cual, dado $[L:L']\geq 1$ basta con tener $T(p)>10$ algo fácil de conseguir para $p$ lo suficientemente grande.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
