El argumento de Cantor revisado

Question

Esto se inspiró en este reciente pregunta .

En mi responder allí, señalé que, dado $F:{\mathcal P}(X)\to X$ un argumento que se remonta a Zermelo nos permite definir un par $(A,B)$ de subconjuntos distintos de $X$ presenciando que $F$ no es inyectiva. El par se define en términos de una ordenación que se construye utilizando $F$ .

Por supuesto, el argumento habitual de Cantor también demuestra que $F$ no es inyectiva: Se considera $$ A=\{F(Z)\mid F(Z)\notin Z\},$$ y argumenta que debe haber una $B$ con $A\ne B$ y $F(A)=F(B)$ .

Mi pregunta es:

¿Podemos exhibir tal conjunto $B$ (definitivamente de $F$ )?

Answer 1

Si he entendido bien el OP, el problema puede plantearse del siguiente modo :

Problema 1. Sea $X$ sea un conjunto, y $F:{\cal P}(X) \to X$ y que $A$ definirse como arriba: $$A=\lbrace F(Z) | Z\subseteq X, F(Z) \not\in Z\rbrace.$$ Encontrar un definible $B$ (en términos de $F$ ) tal que $B \neq A$ y $F(B)=F(A)$ .

Ahora el problema 1 es equivalente al problema más sencillo :

Problema 2. Sea $Y$ sea un conjunto y $Y'$ sea un subconjunto no vacío de $Y$ . Encontrar un definible $y_0$ (en términos de $Y$ y $Y'$ ) que se encuentra en $Y'$ .

La parte interesante y no trivial de la equivalencia es, por supuesto, demostrar que podemos resolver el Problema 2 si podemos resolver el Problema 1. He aquí cómo. Sea $Y$ y $Y'$ sea como el anterior. Tomar dos elementos $a,b$ y un conjunto contable $W=\lbrace w_k \rbrace_{k \geq 0}$ fuera de $Y$ . Ahora defina $X$ como la unión disjunta de $\lbrace a,b \rbrace$ y $Y \times W$ y defina $F : {\cal P}(X) \to X$ por:

1. $F(\lbrace (y,w_0) \rbrace)=a$ si $y\in {Y'} $ ,
2. $F(\lbrace (y,w_{k+1}) \rbrace)=(y,w_k)$ para todos $y\in Y$ y $k\ge0$ ,
3. $F(X)=a$ et
4. $F(Z)=b$ para todos los demás subconjuntos $Z$ de $X$ (así $F(\emptyset)=b$ ).

Ahora, por construcción, $A=X$ y cualquier solución $B$ al problema 1 es de la forma $\lbrace (y,w_0) \rbrace$ para algunos $y\in Y'$ resolviendo así el problema 2.

Answer 2

Se ha señalado en los comentarios que la perspicaz solución de Ewan muestra que una respuesta negativa a la pregunta es coherente con ZF, ya que una respuesta positiva implica AC.

Pero permítanme ir más allá. De hecho, la solución de Ewan muestra que una respuesta negativa a la pregunta principal es consistente con la ZFC completa. La razón es que una respuesta positiva al problema 2 de Ewan implica en realidad la afirmación teórica de conjuntos $V=HOD$ que el universo está formado por los conjuntos definibles hereditariamente como ordinales. Para ver esto, supoose que $V\neq HOD$ entonces hay algún cardinal $\kappa$ tal que $Y=P(\kappa)$ tiene algunos elementos definibles no ordinales. Sea $Y'$ sea el conjunto de subconjuntos no HOD de $\kappa$ . Ambos $Y$ y $Y'$ son definibles ordinalmente, pero $Y'$ no tiene elementos definibles ordinalmente. Esto contradice cualquier solución positiva al problema 2.

Así, cualquier modelo de teoría de conjuntos que tenga una respuesta positiva al problema 2 debe satisfacer también $V=HOD$ . Y así, cualquier modelo de $ZFC+V\neq HOD$ es un modelo de respuesta negativa a la pregunta principal, con ZFC completa.

Mientras tanto, una respuesta positiva a la pregunta principal también es coherente con ZFC, ya que existen modelos de ZFC en los que cada objeto es definible sin parámetros. Por ejemplo, esto es cierto en el modelo transitivo mínimo de la teoría de conjuntos. De hecho, Reitz, Linetsky y yo hemos demostrado recientemente que todo modelo contable de ZFC y, de hecho, de GBC puede extenderse a un modelo definible puntualmente, en el que todo conjunto y clase es definible sin parámetros. En tal modelo, podemos encontrar definitivamente la B deseada, ya que toda B es definible. (Pero hay poca uniformidad en esta definición).

Así que la respuesta completa a la pregunta principal es que es independiente de ZFC. Por supuesto, la cuestión de "definible" no es directamente formalizable en teoría de conjuntos, por lo que uno debe entender esta afirmación como la afirmación de que si ZFC es consistente, entonces hay modelos de ZFC en los que hay una solución positiva, y modelos en los que hay una solución negativa, incluso cuando se interpreta como la afirmación literal de segundo orden. Sin embargo, si uno entiende "definible" como "definible ordinalmente", entonces la afirmación es formalizable en el lenguaje de la teoría de conjuntos, y esta afirmación también es independiente de ZFC, por las mismas razones.