¿Cuál es la diferencia entre Equivalencia y Degeneración?

Question

Estoy en medio de un curso avanzado de stat-mech, y ahora estamos aprendiendo sobre cristales líquidos (LC). En el último tutorial, hemos desarrollado la energía libre de Landau del sistema de LC cerca de la transición entre el líquido isotrópico y la fase nemática.

Como primer intento para el parámetro de orden, pensamos en utilizar un DO tipo Ising:

$$\mathbf m = \frac{1}{N} \left< \sum_\alpha \mathbf{n}_\alpha\right>$$

Que como queremos la misma energía para $\mathbf n$ y $-\mathbf n$ la energía tendrá que ser un polinomio en ${|\mathbf m|}^2$ . Todo esto me parecía razonable y me sorprendió ver que no funcionaba. La razón era:

No basta con que los Estados $\mathbf n_\alpha$ , $-\mathbf n_\alpha$ tengan la misma energía, sino que queremos que representen el mismo estado. [...] En otras palabras, queremos que equivalencia en lugar de degeneración .

Esta afirmación nos motivó a utilizar un tensor de rango 2 como parámetro de orden, que es el DO conocido y correcto para este problema.

Mi pregunta es, ¿cuál es la diferencia entre equivalencia y degeneración y ¿por qué un tensor de rango 2 representa equivalencia en este caso?

Answer 1

Vale, creo que ya lo tengo, y la solución era mucho más sencilla de lo que pensaba al principio. El truco era pensar en el significado de "degeneración" en este caso, ya que es el más fácil de analizar.

Cuando dijimos "degeneración", queríamos decir "degeneración de la energía libre de Landau en el parámetro de orden", lo que nos dio la dependencia cuadrática.

Dado que la energía libre es idéntica para $\mathbf m$ y $-\mathbf m$ la parte de "equivalencia" no puede relacionarse con ella. ¿Qué no es idéntico? ¡El propio OD! Por tanto, "equivalencia" significa "la El propio OD es idéntico para $\mathbf m$ y $-\mathbf m$ ", y el objeto más simple que lo satisface es el tensor sin traza de rango 2, que es el DO correcto para el problema.

Queremos que el propio OD sea idéntico, ya que en contra del modelo de Ising (por ejemplo), las partículas no tienen un vector preferido - sólo un eje preferido. Voltear una sola partícula no cambiará nada, mientras que voltear una sola en el modelo de Ising sí lo haría.

Mi malentendido se debió a la falta de palabras en la explicación, no a un profundo conocimiento de la equivalencia matemática o algo así. Mantengo esta pregunta por si le sirve a alguien más, aunque suene mucho más específica y superficial de lo que pensaba.