Encontrar singularidades y su tipo de $\frac{1}{z(e^z-1)}$

Question

Estoy un poco confuso sobre la búsqueda de singularidades, polos, etc. Tomemos el ejemplo de $\frac{1}{z(e^z-1)}$ en $z=0$ . Para hacer este problema, he ampliado $e^z-1$ : $$e^z-1=z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...$$ Y así $$\frac{1}{z(e^z-1)}=\frac{1}{z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...)}$$ Sé que si $$\lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_0)^M f(z)=A_{-M} \ne 0$$ $$\lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_0)^{M+k} f(z)=0$$ entonces tenemos un polo de orden $M$ en $z_0$ .

Así que tomo $m=1$ : $$\lim_{z\rightarrow 0} \ z^1 \frac{1}{z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...)}=\infty$$

Toma $m=2$ : $$\lim_{z\rightarrow 0} \ z^2 \frac{1}{z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...)}=1=A_{-2}=A_{-M}$$

$m=3$ : $$\lim_{z\rightarrow 0} \ z^3 \frac{1}{z^2(1+\frac{z}{2!}+\frac{z^2}{3!}+...)}=0$$

Así que parece que es una singularidad aislada y la función es meromorfa.

No entiendo qué $\infty$ medios para $m=1$ . ¿No debería ser igual a $A_{-1}$ ? O sólo es cierto para un polo, por lo que $m=M$ ?

Answer 1

Así que parece que es una singularidad aislada y la función es meromorfa.

Sí, la función tiene una singularidad aislada en $z=0$ que es un polo de orden 2 porque $\lim_{z\to 0}=z^2f(z)=1$ como $z$ se acerca a $0$ donde $f(z)=\dfrac{1}{z(e^z-1)}$ es decir

$$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0}z^{2}f(z) &=&\lim_{z\to 0}\frac{z}{e^{z}-1}=\lim_{z\to 0}\frac{1}{e^{z}}=1=A_{-2} \end{eqnarray*}$$

y para $k=1,2,\ldots$ tenemos

$$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0}z^{2+k}f(z) &=&\lim_{z\to 0}z^{k}\times\lim_{z\to 0}z^{2}f(z)=0\times 1=0=A_{-2-k}. \end{eqnarray*}$$

No entiendo qué $\infty$ medios para $m=1$ .

Sólo significa que $zf(z)$ se comporta como $1/z$ como $z$ tiende a $0$ .

¿No debería ser igual a $A_{-1}$ ?

No, $A_{-1}=-1/2$ en lugar de $\infty$ porque es el coeficiente de $z^{-1}$ en la expansión como Serie Laurent de $f(z)$ que es

$$\begin{eqnarray*} f(z) &=&z^{-2}-\frac{1}{2}z^{-1}+\frac{1}{12}-\frac{ 1}{720}z^{2}+\ldots,\tag{1}\\ \\ &:=&A_{-2}z^{-2}+A_{-1}z^{-1}+A_{0}+A_{2}z^{2}+\ldots \qquad z\neq 0 \tag{2}. \end{eqnarray*}$$

Además, por definición, el coeficiente de $z^{n}$ en $(1)$ es $A_{n}$ . Por lo tanto, según lo calculado por usted, $A_{-2}=1$ . El mismo resultado se obtiene si utilizamos $(2)$ para encontrar los límites $\lim_{z\to 0}z^2f(z)$ y $\lim_{z\to 0}z^3f(z)$ . Obtenemos $\lim_{z\to 0}z^2f(z)=1$ y $\lim_{z\to 0}z^3f(z)=0$ . Tenga en cuenta que $A_{-1}$ es el coeficiente de $z^{-1}$ en $(1)$ y no en $zf(z)$ :

$$\begin{eqnarray*} zf(z)&=&z^{-1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}z-\frac{ 1}{720}z^{3}+\ldots \tag{3} . \end{eqnarray*}$$