La cuestión es simplemente que, si quieres demostrar alguna propiedad P para espacios topológicos arbitrarios (con los que puede ser desagradable trabajar), y resulta que sabes que P se conserva por equivalencia homotópica débil, a menudo bastará con demostrar P sólo para complejos CW (que tienen una descripción combinatoria bonita y concreta).
Las propiedades preservadas por la equivalencia débil de homotopía incluyen todos los datos homotópicos y homológicos sobre sus espacios. Así, por ejemplo, para demostrar la fórmula de Künneth para espacios generales, basta con demostrarla sólo para complejos CW.
Si lo prefieres, puedes interpretar el papel de este teorema en el contexto de la topología algebraica en su conjunto, simplemente preguntándote "¿por qué me importa esto?". Aquí tienes algunos ejemplos de cómo podrías leerlo:
- ¿Por qué podemos estudiar los espacios arbitrarios, cuando en su mayoría son muy difíciles? Porque la aproximación CW nos permite obtener información interesante de una clase de objetos mucho más simple.
- ¿Por qué estudiamos sobre todo datos homotópicos? Porque es el tipo de datos más fácil de calcular, gracias a resultados como la aproximación CW.
- ¿Por qué dedicamos tanto tiempo a estudiar los complejos CW? Porque son un equilibrio casi óptimo entre cosas sencillas (objetos con los que podemos hacer cálculos) y cosas interesantes (objetos que realmente nos importan), precisamente por la existencia de un teorema de aproximación de CW.
En última instancia, no importa cómo lo veas; el efecto es prácticamente el mismo. Pero a menudo me he dado cuenta de que ponerlo en contexto ayuda a ver el panorama más amplio. Los anteriores son puntos de vista muy simplificados, pero probablemente todos sean al menos parte de la verdad, y quizá uno de ellos sea una forma de pensar que no habías encontrado antes.
