Estructuras multiplicativas en espectros de Moore truncados

Question

Como se expone, por ejemplo, en este papel (y este MO hilo), existen obstáculos para la existencia de $A_n$ -estructuras en los espectros de Moore $M(p^r):=\mathbb{S}/p^r$ que, en general, no desaparecen. En particular, para los primos Impares, $M(p)$ no admite un $A_p$ -strucutre, y si he entendido bien, se espera que para ningún valor de $r$ el espectro $M(p^r)$ admite una $A_\infty$ -Estructura.

Me interesa la pregunta análoga para el $d$ -truncado Espectros Moore $M(p^r,d) := \tau_{\le d}(\mathbb{S}/p^r)$ :

Lo que se sabe sobre la existencia de $A_n$ (o quizás incluso $E_n$ ) en $M(p^r,d)$ ?

Para $d=0$ se obtiene $M(p^r,0) \simeq H\mathbb{Z}/p^r$ que es un $E_\infty$ -anillo. Sin embargo, no estoy seguro de cuál es la situación incluso para $d=1$ . Concretamente, me interesa el caso en que $p$ y $d$ son fijos y $r \gg 0$ . Lo mejor sería conseguir un $E_\infty$ -strucutre (el objetivo es aproximar $\tau_{\le d}(\mathbb{S}_p)$ por $\pi$ -finito $E_\infty$ -anillos).

Answer 1

Creo que Métodos de Prasit Bhattacharya como se indica en la pregunta, puede utilizarse para demostrar que para un $p,d$ y $r$ suficientemente grande, el espectro truncado de Moore $M(p^r,d)$ es $A_\infty$ y probablemente incluso $E_\infty$ .

Prasit muestra que $M(p^r)$ es el espectro Thom de cualquier mapa $f_{p,r,u} : S^1 \to BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)$ que selecciona $1 + p^r u \in \mathbb Z_p \subset \mathbb Z/(p-1) \times \mathbb Z_p = \pi_1(BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)$ para cualquier unidad $u \in \mathbb Z^\times_p$ . Sus límites en $A_n$ -ness provienen de encontrar una opción de unidad $u$ para el que el mapa $f_{p,r,u}$ es $A_n$ .

Ahora, si estamos interesados en $M(p^r,d)$ entonces, si no me equivoco, a partir de hechos como $\tau_{\leq d} \Sigma^\infty_+ X = \tau_{\leq d} \Sigma^\infty_+(\tau_{\leq d} X)$ podemos deducir que $M(p^r, d)$ es el $\tau_{\leq d}$ -truncamiento del espectro Thom del mapa $S^1 \xrightarrow{f_{p,r,u}} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p) \to\tau_{\leq d+1} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)$ . [1] Dado que el paso a los espectros Thom requiere $O$ -mapa a $O$ -para cualquier operada $O$ bastará con demostrar que $u$ puede elegirse de forma que $S^1 \xrightarrow{f_{p,r,u}} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p) \to \tau_{\leq d+1} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)$ es un $A_n$ mapa.

Como muestra Prasit, esto significa que tenemos que levantar el mapa compuesto

$$S^2 \to \Sigma \tau_{\leq d+1} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p) \to B\tau_{\leq d+1} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)$$

a través del mapa $S^2 \to \mathbb C\mathbb P^n$ (el significado de $\mathbb C \mathbb P^n$ es que es el $n$ -construcción de barra truncada en $S^1$ ). Prasit demuestra que esto es posible antes de tomar $\tau_{\leq d+1}$ para algunos $n = n(r)$ si $r$ es suficientemente grande. Pero entonces si estamos truncando, porque los mapas $\mathbb C \mathbb P^n \to \mathbb C \mathbb P^{n+1}$ están aumentando en conectividad, podemos ampliar automáticamente, siempre y cuando $2n(r) \geq d$ . Desde $n(r) \to \infty$ como $r \to \infty$ Esto es posible.

Creo que la teoría de la obstrucción $E_\infty$ funciona de forma similar en el sentido de que las obstrucciones se encuentran en grupos de homotopía cada vez más altos, por lo que siempre que se consiga algún levantamiento hasta el nivel $d+1$ se puede ampliar a un $E_\infty$ estructura cuando $d$ -truncando. Pero tal vez alguien que esté realmente familiarizado con la $E_\infty$ teoría de la obstrucción podría decir algo más definitivo.

[1] El argumento que tengo en mente construye el espectro Thom como una construcción de barras $M(f) = |\Sigma^\infty_+ F \wedge \Sigma^\infty_+ BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)^\bullet|$ donde $F$ es la fibra de $f$ . Así que $\tau_{\leq d} M(f) = \tau_{\leq d} |\tau_{\leq d} \Sigma^\infty_+ \tau_{\leq d} F \wedge \Sigma^\infty_+ \tau_{\leq e} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)^\bullet|$ siempre y cuando $e \geq d$ . Cuando tomamos $e = d+1$ observamos que como los grupos de homotopía de $S^1$ (el dominio de $f$ ) son fáciles, tenemos una secuencia de fibras $\tau_{\leq d} F \to S^1 \to \tau_{\leq d+1} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)$ . Así que la construcción de la barra que estamos tomando es ahora, hasta $\tau_{\leq d}$ -truncamiento, exactamente la misma construcción de barras que para el espectro Thom del mapa $S^1 \to \tau_{\leq d+1} BGL_1(\mathbb S^\wedge_p)$ . Aunque probablemente haya una forma más agradable de decir esto.

Answer 2

En $1$ -tipo de $M\mathbb{Z}/(2^r)$ tiene un $E_\infty$ -estructura anular para $r> 1$ . Voy a mostrarlo utilizando los modelos algebraicos para $1$ -Espectros de anillos conmutativos conectivos truncados de:

MR2405894 Revisado Baues, Hans-Joachim; Jibladze, Mamuka; Pirashvili, Teimuraz Tercera cohomología de Mac Lane. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 144 (2008), no. 2, 337-367.

MR2793446 Revisado Baues, Hans-Joachim; Muro, Fernando El álgebra de operaciones homotópicas secundarias en espectros de anillos. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 102 (2011), no. 4, 637-696.

Estos modelos algebraicos, denominados $E_\infty$ -dan lugar a categorías bipermutativas (véanse las Observaciones 5.9, 6.10 y 9.14 del segundo artículo) que, a su vez, pueden utilizarse para construir espectros de anillos conmutativos conectivos truncados según:

A. D. Elmendorf y M. A. Mandell, Rings, modules, and algebras in infinite loop space theory, Adv. Math. 205 (2006) 163-228.

Estoy seguro de que puedes encontrar otras pruebas, por ejemplo, a través de una construcción topológica explícita o levantando la primera $k$ -invariante a la cohomología topológica de André-Quillen.

Considere lo siguiente $E_\infty$ -álgebra de pares cuadráticos

$$\begin{array}{ccc} \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}&\stackrel{\partial}\longrightarrow& \mathbb{Z}\\ \nwarrow^P&&\swarrow_H \\ &\mathbb{Z}& \end{array}$$

Toma, $$ \begin{array}{rcl} \partial([a],n)&=&2^rn,\\ P(a)&=&([a],0),\\ H(n)&=&\frac{n(n-1)}{2}. \end{array} $$

Además, $\mathbb{Z}$ está dotado del producto habitual (en un álgebra de pares cuadráticos podría tener un producto que sólo fuera distributivo recto, pero no lo tiene en este caso) y $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}$ está dotado del habitual producto por la izquierda y por la derecha de elementos de $\mathbb{Z}$ (de nuevo, el producto de la izquierda no tiene por qué ser distributivo en general). Podría haber un $\smile_1$ operación que en este caso es trivial porque todos los productos anteriores conmutan.

En $k$ -de dicha estructura es el homomorfismo $$\operatorname{coker}\partial\otimes\mathbb{Z}/2\longrightarrow \ker\partial$$ definido por $$[a]\otimes[1]\mapsto P(H(2a)-2H(a)).$$

En el ejemplo anterior, este morfismo es $$\mathbb{Z}/2^r\otimes\mathbb{Z}/2\cong \mathbb{Z}/2$$ que coincide con el mapa $$\pi_0M\mathbb{Z}/2^r\otimes\pi_1S\longrightarrow \pi_1M\mathbb{Z}/2^r\colon [f]\otimes[g]\mapsto [fg].$$ Esta es la primera $k$ -invariante de $M\mathbb{Z}/2^r$ .

Se preguntará qué falla para $r=1$ . Para la segunda ecuación del segundo conjunto de la definición 6.1 (en el segundo de los documentos mencionados) necesitamos $PH\partial=0$ . Esto se cumple si $r>1$ desde $$PH\partial([a],n)=\left(\left[\frac{2^rn(2^rn-1)}{2}\right],0\right)=([2^{r-1}n],0).$$