Hallar el conjunto de valores del parámetro de una recta tal que la distancia perpendicular de la recta a un plano sea menor que 4

Question

El avión $_1$ tiene ecuación

$$r=i+2j+k+ \theta (2j-k) + \phi (3i+2j-2k) $$

Que es $$2x+3y+6z=14$$

La línea $l$ tiene ecuación

$$r = 3i + 8j + 2k + t(4i + 6j + 5k)$$

El punto sobre $l$ donde $t = $ se denota por P. Hallar el conjunto de valores de para los cuales la distancia perpendicular de P a $_1$ no es superior a 4.

---

Este es un diagrama que dibujé para imaginar esto :

donde $n=2i+3j+6k$

---

Lo que probé:

Pensé en encontrar el valor crítico en el que la distancia es 4

$$3i+8j+2k + \lambda (4i+6j+5k) + \frac {4}{u} (2i+3j+6k)=(i+2j+k)+ \theta (2j-k) + \phi (3i+2j-2k)$$

Dónde $u = \sqrt{(2^{2}+3^{2}+6^{2})}=7$

Que es un método muy largo, y todavía no lo hizo bien.

---

Mi libro hizo una manera simple, que no entiendo, Por favor, ayúdame a entender cómo el libro lo hizo:

Método del libro

Distancia perpendicular, p, de P a l en función de 1 parámetro

$$p =\frac{1}{7}2(3+4)+3(8+6)+6(2+5)14$$

$$= |4+8|$$

$$p\leq 4 \implies –1 \leq \leq 0$$

---

Me parece que han tomado la ecuación del plano y han sustituido 0 por p en:

$$2x+3y+6z-14=0$$

Para:

$$2x+3y+6z-14=p$$

Y luego sustituyó la línea en esto, pero ¿cómo pueden hacer eso. La línea no se encuentra / en el plano para sustituir en esta fórmula. Por favor, ayúdenme. No lo entiendo.

Answer 1

Si dejamos que $P=(x_1,y_1,z_1)$ la distancia de P al plano viene dada por

$d=\left|\text{comp}_{\vec{n}}\vec{v}\right|$ donde $\vec{v}$ es un vector de P a cualquier punto Q del plano y $\vec{n}$ es un vector normal del plano.

Esto da $d=\displaystyle\frac{\left|2x_1+3y_1+6z_1-14\right|}{\sqrt{4+9+36}}=\frac{\left|2(3+4\lambda)+3(8+6\lambda)+6(2+5\lambda)-14\right|}{7}$

$\hspace{.78 in}\displaystyle=\frac{\left|28+56\lambda\right|}{7}=\left|4+8\lambda\right|=4\left|1+2\lambda\right|$ .