Se nos da el operador lineal $T: \Re^{3} \rightarrow \Re^{3}$ dada por la fórmula $T(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{25} (7x_1-24x_3, -25x_2, -24x_1-7x_3)$ . La primera parte de la pregunta nos pide que deduzcamos que $T$ es una isometría autoadjunta. Para ello he examinado la matriz de $T$ .
$M(T) = \begin{matrix} \frac{7}{25} & 0 & \frac{-24}{25} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{-24}{25} & 0 & \frac{-7}{25} \\ \end {matrix} $
Es evidente que es autoadjunto a $T=T^{*}$ y con simples cálculos podemos ver que $\parallel Tv\parallel=\parallel v \parallel$ .
La segunda parte de la pregunta pide encontrar una base ortonormal de $\Re^{3}$ que diagonaliza T. Por el teorema espectral real, sabemos que $\exists$ una base ortonormal formada por los vectores propios de $T$ sólo si $T$ es autoadjunto. Así que podríamos simplemente encontrar los valores propios de $T$ $(\lambda_1 = -1,\lambda_2 = -1, \lambda_3 = 1)$ y luego decimos que sus vectores propios son la base ortonormal correspondiente que diagonaliza $M(T)$ ?
Es decir $v_1=(\frac{3}{4}, 0,1), v_2=(0,1,0), v_3=(\frac{-4}{3}, 0, 1)$
Sin embargo, parece haber un error ya que $v_1$ y $v_3$ no están normalizados.
Agradecería cualquier orientación.
