$\newcommand\Z{\mathbf{Z}}$ $\newcommand\Q{\mathbf{Q}}$
(Advertencia: normalmente no respondería a una pregunta con un conocimiento tan limitado de la teoría general, pero la teoría analítica clásica de números parece no estar tan bien representada por los miembros activos de MO).
Supongamos que $A$ es un grupo abeliano finito. Entonces afirmo que dado cualquier conjunto de al menos $|A| + 1$ elementos (no necesariamente distintos) de $A$ se puede encontrar un subconjunto propio cuya suma sea la identidad. Demostración: Denotemos los elementos $a_i$ para $i = 1$ à $|A|+1$ . Por el principio de encasillamiento, cualquiera de los dos $|A|$ suma $\sum_{i=1}^{r} a_i$ para $r = 1$ à $|A|$ es la identidad, o dos de las sumas son el mismo elemento de $|A|$ en cuyo caso considere la diferencia. Deducimos de ello lo siguiente: Sea $n$ cualquier número entero coprimo de $a$ con más de $r:=|(\Z/a \Z)^{\times}|$ factores primos. Entonces $n$ tiene un divisor propio de la forma $1 \mod a$ .
Supongamos que $k$ no puede representarse mediante la forma $amn \pm m \pm n$ y supongamos que $a > 2$ . Es sencillo deducir que esto equivale a pedir que $ak+1$ y $ak-1$ no tienen divisores propios de la forma $\pm 1 \mod a$ . De ello se deduce que $ak+1$ y $ak-1$ cada uno tiene como máximo $r=|(\Z/a \Z)^{\times}|$ prime factores. Los números enteros con a lo sumo $r$ factores primos se llaman a veces $r$ -casi primos . Si $\pi_r(x)$ cuenta el número de $r$ -casi primos $\le x$ entonces $$\pi_r(x) \sim \frac{x (\log \log x)^{r-1}}{\log(x)}.$$ (Compárese con el teorema de los números primos cuando $r = 1$ .) En particular $r$ -casi los primos tienen densidad cero (en cualquier sentido), y por tanto:
2) La densidad de enteros que no pueden representarse de la forma $amn + m + n$ i Del mismo modo, la densidad de enteros que no pueden representarse en la forma $amn + m -n$ es cero. En particular, la densidad del $a$ -asterios los números enteros que representarse en la forma $amn+m+n$ ni $amn+m-n$ es cero.
Sea $\pi_{r,2}(x)$ denotan el número de gemelo $r$ -casi primos menores o iguales que $x$ es decir, el número de números enteros $n \le x$ tal que $n$ y $n+2$ son ambos $r$ -casi primos. (Por ejemplo, $\pi_{1,2}(x)$ cuenta el número de primos gemelos menores que $x$ .) ¿Qué sabemos de esta función? Brun fue el primero en dar un límite superior para $\pi_{r,2}(x)$ mediante técnicas de tamizado. Refinamientos realizados por otros (en particular Selberg) permitieron obtener la estimación $$\pi_{1,2}(x) \ll \frac{x}{(\log x)^2},$$ que da el orden de magnitud correcto (conjetural). Sin entrar en el tamiz de Selberg, permítanme decir que lo que estos argumentos realmente dan es una decente y límites inferiores del tipo siguiente (para grandes $x$ ): $$\frac{A x}{(\log x)^2} < \left\{n < x, \ p \nmid n(n+2) \ \text{if} \ p < x^{\alpha}\right\} < \frac{B x}{(\log x)^2}$$ para constantes distintas de cero $A$ y $B$ , donde $0 < \alpha < 1$ es alguna pequeña constante fija, que podríamos imaginar para el en aras del argumento es $1/10$ . Dado que cada primo gemelo $>x^{\alpha}$ contribuye a esta suma, esto da el límite superior correcto (hasta una constante) para $\pi_{1,2}(x)$ . También ofrece una inferior para $\pi_{10,2}(x)$ ya que si cada factor de $n < x$ es como mínimo $x^{1/10}$ entonces $n$ tiene como máximo $10$ factores primos.
El lema que aprendí sobre el cribado fue el siguiente: los límites superiores son fáciles, los inferiores son difíciles. Así pues, como nos interesa acotar $\pi_{r,2}(x)$ parece que estamos en buena forma. Sin embargo, aquí hay una sutileza. Dejemos que $\pi(x,z)$ denotan el número de enteros $n$ menos que $x$ tal que cada factor primo de $n$ es como mínimo $z$ . Está claro por el argumento del último párrafo que $\pi_r(x) \ge \pi(x,x^{1/r})$ . Cabe imaginar que estas cifras son aproximadamente del misma magnitud. Sin embargo, resulta que $\pi_r(x)$ es mucho mayor que $\pi(x,x^{1/r})$ . Este último es comparable al número de primos menores que $x$ donde el primero tiene un factor adicional de $(\log \log x)^{r-1}$ . La razón es que $\pi_r(x)$ está dominado por números con (pocos) factores primos pequeños. De hecho, como Kowalski me señaló, ni siquiera es obvio que se pueda obtener fácilmente la límite superior correcto para $\pi_r(x)$ simplemente tamizando sobre primos. A partir de la asintótica para $\pi_{r}(x)$ se espera que $$(*): \qquad \pi_{r,2}(x) =^{?} \ O\left(\frac{x (\log \log x)^{2r-2}}{(\log x)^2}\right).$$ (EDIT: Mi experto residente informa de que esto se sabe. He aquí un esbozo de la idea en el caso más simple en el que queremos contar pares $n$ y $n+2$ donde $n$ es un $2$ -casi primo y $n+2$ es primo. En primer lugar, para un primo pequeño $p$ queremos encontrar un límite superior para el número de $n < x$ tal que $n$ es divisible por $p$ y ambos $n/p$ y $n+2$ son primos. Este es un problema similar al de contar primos gemelos, y de forma similar se obtiene un límite de la forma $O(x/\log x)$ (punto clave: la constante implícita no depende de $p$ ). Si queremos acotar el número de pares $(n,n+2)$ tal que $n+2$ es primo y $n$ es un $2$ - casi primos, podemos contar los triples $(p,n,n+2)$ donde $p < x$ es primo, $n < x$ es divisible por $p$ , $n/p$ es primo, y $n+2$ es primo. Si para cada $p < x$ tenemos un límite superior de $Ax/\log x$ (para el mismo $A$ ), en total obtenemos el límite superior: $$ \frac{Ax}{\log x} \cdot \sum_{p < x} \frac{1}{p} \sim \frac{Ax \log \log x}{\log x}.$$ Por supuesto, ¡el diablo está en los detalles! FIN EDIT) Todo lo que se necesita para responder a 3) es que el exponente de $\log(x)$ en el denominador es $> 1$ .
3). Asumiendo el resultado esperado (*), la suma inversa de los $a$ -asterios primos converge.
Consideremos el conjunto de números enteros $S_a$ que no tienen ningún factor primo de la forma $\pm 1 \mod a$ . Esto es razonable siempre que $|(\Z/a\Z)^{\times}| > 2$ . Esta es una condición más débil, por lo que hay más de estos números y, en consecuencia, la obtención de límites superiores es más difícil. Podemos formar la serie de Dirichlet $$L(s) = \sum_{S_a} \frac{1}{n^s}$$ que tiene un producto de Euler: $$L(s) = \prod_{p \not\equiv \pm 1} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$ Ahora dejemos que $K = \Q(\zeta_a)^{+}$ sea el subcampo totalmente real de $\Q(\zeta_a)$ . Tiene grado $r/2 = \phi(a)/2$ donde $r > 2$ a menos que $a = 1,2,3,4$ o $6$ . (Lo que decimos ahora sólo tiene sentido para $r \ge 2$ en cuyo caso $r/2 \in \Z$ .) Un primo se divide completamente en $K$ si y sólo si es de la forma $\pm 1 \mod a$ . Observando el producto de Euler de $\zeta_K(s)$ , vemos que, hasta una constante que puede escribirse explícitamente como algún producto sobre primos, $$\zeta_K(s) L(s)^{r/2} \sim \zeta_{\Q}(s)^{r/2}$$ como $s \rightarrow 1^{+}$ y, por tanto $L(s) \sim (s-1)^{(2-r)/r}$ ( como $s \rightarrow 1^{+}$ . Deducimos (fórmula de Perron) que el número de enteros $\le x$ todos cuyos factores primos no son de la forma $\pm 1 \mod a$ es asintótica a $$ \kappa \cdot \frac{x}{(\log x)^{2/r}},$$ para algún valor distinto de cero constante $\kappa$ . Este es el mismo análisis que da la fórmula asintótica para el número de enteros $\le x$ que puede escribirse como una suma de dos cuadrados (un resultado de Landau). Inmediatamente deducimos:
4a) El número de enteros $a$ tal que $ak+1$ (o $ak-1$ ) factores primos de la forma $\pm 1 \mod a$ tiene densidad cero.
Si $r > 2$ (así $a \ge 3$ y $a \ne 3,4,6$ ) entonces la potencia $2/r$ o $(\log x)$ es como máximo $1/2$ . Por lo tanto, en realidad nos lleva a la siguiente conjetura:
4b) Si $r = \phi(a) > 2$ entonces uno podría heurísticamente suma de enteros $k$ tal que ninguno de los factores primos de $ak-1$ y $ak+1$ son $\pm 1 \mod a$ diverge. Si $r = 2$ Así que $a = 3$ , $4$ o $6$ entonces (Brun) la serie converge.
He aquí un problema relacionado del mismo tipo: ¿se puede contar el número de enteros $n \le x$ de forma que $n$ y $n+1$ puede expresarse como la suma de dos cuadrados, y demostrar que hay $\sim x/\log(x)$ s (quizás hasta factores constantes distintos de cero)?
Cualquier número entero $n$ puede escribirse como el producto de dos números no de la forma $\pm 1$ a menos que cada factor primo de $n$ es del forma $\pm 1 \mod a$ . Los números enteros cuyos factores primos son $\pm 1 \mod a$ puede analizarse exactamente igual que en el último párrafo. En este caso, el número de enteros todos cuyos factores primos son de la forma $\pm 1 \mod a$ es asintótica a $$ \kappa \cdot \frac{x}{(\log x)^{(1-2/r)}}.$$ Supongamos que $r > 2$ . Entonces el conjunto de tales números enteros tiene densidad cero, y por lo tanto el conjunto de enteros que tienen un factor no de la forma $\pm 1 \mod a$ tiene densidad uno. Cualquier conjunto de densidad uno tiene infinitos "gemelos" que satisfacen cualquier condición de congruencia fija. Por lo tanto:
5) Si $r = \phi(a) > 2$ entonces hay infinitas $k$ s $ak+1$ y $ak-1$ tienen un factor no de la forma $\pm 1 \mod a$ . De hecho, tales números tienen densidad uno.
Por último, no tengo nada que decir sobre el problema 1), aparte de las observaciones que hice en mi reformulación de la pregunta original aquí:
Teorema de Chen con condiciones de congruencia.
