Pruebas $R-S$ contiene un ideal primo cuando $S$ es un conjunto multiplicativo

Question

Principalmente estoy tratando de demostrar que

Si $0\not \in S\subseteq R$ i anillo conmutativo $R$ con identidad. Entonces $R-S$ contiene un ideal primo.

Ahora, utilizando el lema de Zorn, se puede demostrar que $R-S$ contiene un ideal maximal I. De hecho, I es también un ideal primo, por lo que necesitamos demostrarlo.Para ello, he supuesto lo contrario, es decir $\exists a,b \in R$ s.t $ab\in I$ pero $a,b \not \in I$ . Luego miró cada caso. Sin embargo, me quedé atascado cuando $a,b \in R-[S\cup I]$ . Lo siguiente es lo que he hecho para este caso;

Prueba:

En este caso, nuestros supuestos son $a,b\in R-[S\cup I]$ y $I + (a) = J$ donde $J$ es un ideal en $R$ y $J \cap S \not = \emptyset$ .

Esto implica que; $S^{-1}(I + (a)) = S^{-1} J$ pero como $J \cap S \not = \emptyset$ por un teorema que demostramos en clase, $S^{-1} J = S^{-1}R$ Por lo tanto, debe ser cierto que $\exists (i\in I, r\in R, s_1,s \in S)$ s.t $$\frac{i+ra}{s_1} =\frac{1}{s}$$ pero esto implica $\exists s_2 \in S$ s.t $$ s_2(is + sra -1 s_1) = 0 \quad \Rightarrow \quad (s_1 s )i + (s_1 s r) a = (s_1 s )1,$$ Así que $$(b s_1 s )i + (s_1 s r) ab = (s_1 s )b.$$ Obsérvese que por nuestra suposición $ab\in I$ Así que $(s_1 s)b \in I$ .

Ahora, en el punto, no sé cómo proceder, por lo que agradecería cualquier ayuda o pista porque me quedé atascado en este punto desde hace más de una semana.

Editar

Gracias por las magníficas respuestas; sin embargo, me interesa concretamente cómo continuar desde el punto en el que me he atascado.

Answer 1

He aquí una respuesta que utiliza técnicas que quizá no hayas visto, pero que pueden servirte de motivación para aprenderlas. Desde $S$ es un subconjunto multiplicativo podemos formar la localización $S^{-1}R$ un anillo distinto de cero junto con un mapa natural $$f: R \rightarrow S^{-1}R$$ tal que $f(s)$ es una unidad en $S^{-1}R$ para todos $s \in S$ . Entonces $S^{-1}R$ contiene un ideal primo $\mathfrak{p}$ y tirando hacia atrás se obtiene un ideal primo $\mathfrak{q}= f^{-1}(\mathfrak{p})$ . Si $s\in S$ se encuentra en $\mathfrak{q}$ entonces $f(s)$ sería una unidad contenida en $\mathfrak{p}$ lo que es una contradicción y demuestra que $\mathfrak{q}$ es el primo que quieres.

Answer 2

Si $\;I\;$ no es una idea primordial de $\;R\;$ entonces existe $\;a,b\in R\;$ s.t. $\;ab\in I\;$ pero $\;a,b\notin I\;$ y de aquí obtenemos

$$I\lneq \begin{cases}I+aR,\\I+bR\end{cases}\implies \exists\,i,j\in I\,,\,\,x,y,\in R\;\;s.t.\;\;i+ax\,,\,j+by\notin R\setminus S\implies$$

$$\begin{cases}i+ax=s_1\in S\\{}\\j+by=s_2\in S\end{cases}\implies S\ni s_1s_2=ij+iby+jax+abxy\in I\implies I\cap S\neq \emptyset$$

y esto es una contradicción.