Cómo probar $(1-\frac1{36})^{25}\lt\frac12$ ?

Question

¿Cómo se demuestra la desigualdad?

$(1-\frac1{36})^{25}\lt\frac12$

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Estoy en problemas.

Muchas gracias por su ayuda

Answer 1

Tenga en cuenta que $\left(1-\frac1{36}\right)^{36}\approx e^{-1}$ pero más específicamente $\left(1-\frac1{36}\right)^{36}\lt e^{-1}$ (porque la función $\left(1-\frac1x\right)^x$ aumenta para $x\gt 1$ y su límite como $x\to\infty$ es $e^{-1}$ ). Así, $\left(1-\frac1{36}\right)^{25} =\left(\left(1-\frac1{36}\right)^{36}\right)^{\frac{25}{36}}\lt e^{-\frac{25}{36}}$ . Pero tenemos $e^{-\frac{25}{36}}\lt\frac12$ porque $e^{\frac{25}{36}}\gt 2$ porque $\frac{25}{36}\gt\ln 2$ . Esta última ecuación se puede comprobar fácilmente con una pequeña tabla de constantes.

Answer 2

La serie $$(1-x)^{-25}=1+25 x+325 x^2 + 2925 x^3+20\,475 x^4+\ldots$$ tiene todos los coeficientes positivos. De ello se deduce que $$\left(1-{1\over36}\right)^{-25}> 1+{25\over 36}+{325\over 36^2}+{2916\over 36^3}=1+{25\over36}+{325+81\over 36^2}={1301\over648}>2\ .$$

Answer 3

Tenemos que $\displaystyle\left(1-\frac{1}{36}\right)^{25}=\sum_{r=0}^{25} \binom{25}{r}(-1)^{r}\frac{1}{36^r}=1-\frac{25}{36}+\frac{25\cdot24}{2\cdot36^2}-\frac{25\cdot24\cdot23}{6\cdot36^3}+\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22}{24\cdot36^4}-\cdots$ .

Como la suma es alterna y tiene términos decrecientes en valor absoluto, su valor es menor que

$\displaystyle1-\frac{25}{36}+\frac{25\cdot24}{2\cdot36^2}-\frac{25\cdot24\cdot23}{6\cdot36^3}+\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22}{24\cdot36^4}=\frac{29}{54}-\frac{25\cdot23\cdot122}{36^4}<\frac{1}{2}$ desde

$27(25)(23)(122)>27(24)(23)(120)=9(12^{2})(3)(2)(23)(10)=36^{2}(1380)>36^2(1296)=36^{4}$

$\implies\displaystyle\frac{25\cdot23\cdot122}{36^{4}}>\frac{1}{27}.$

Answer 4

Aquí presento una demostración básica utilizando únicamente el teorema de la expansión binomial sin utilizar la propiedad de $(1-\frac{1}{x})^x$ . Nótese que la desigualdad es equivalente a la siguiente desigualdad $$ \left(\frac{36}{35}\right)^{25}> 2.$$ Por el teorema de la expansión binomial, tenemos \begin {eqnarray} \left ( \frac {36}{35} \right )^{25}&=& \left (1+ \frac {1}{35} \right )^{25} \\ &>&1+ \binom {25}{1} \frac {1}{35}+ \binom {25}{2} \frac {1}{35^2}+ \binom {25}{3} \frac {1}{35} \\ &=&1+ \frac {25}{35}+ \frac {25 \cdot 24}{2} \frac {1}{35^2}+ \frac {25 \cdot24\cdot23 }{3 \cdot 2} \frac {1}{35^3} \\ &=&1+ \frac {5}{7}+ \frac {12}{49}+ \frac {92}{1715} \\ &=&1+ \frac {1737}{1715} \\ &>&2. \end {eqnarray} Hecho.

Answer 5

Tomar logaritmos

Lado izquierdo $= 25(\log 35 - \log 36) = -.30586...$ ;
Lado derecho $= -\log 2= -.30102...$

El lado izquierdo es menor que el derecho