¿Qué significa $\text{dim}_K L$ significa cuando $K,L$ ¿son campos? +Ejemplo.

Question

¿Qué significa $\text{dim}_K L$ cuando $K,L$ ¿son campos?

Por el contexto en el que he visto que se utiliza, creo que significa la dimensión del espacio vectorial que obtenemos al ver $L$ como espacio vectorial sobre $K$ y que $\text{dim}_K L=[L:K]$ pero me gustaría tener alguna confirmación.

En el ejemplo da un conjunto $M=\{a+b\sqrt 2~|~a,b \in \Bbb{Q}\}$ y dice $[M:\Bbb{Q}]=2$ ¿será porque $\Bbb{Q} \subseteq M$ cuando vemos $M$ como espacio vectorial sobre $\Bbb{Q}$ podemos simplemente encontrar una base para $M$ una de estas bases sería $\{1,\sqrt 2\}$ entonces la dimensión de $M$ es $2$ así que $[M:\Bbb{Q}]=2$ ?

Finalmente dice desde $\pi$ es trascendental por lo que $\{1,\pi,\pi^2,\pi^3,...\}$ son linealmente independientes sobre $\Bbb{Q}$ por lo que debemos tener $[\Bbb{R}:\Bbb{Q}]=\infty$ ¿podría alguien explicarlo?

Answer 1

Todo lo que ha dicho es correcto excepto la última parte. Ha escrito correctamente que $\{1,\pi,\pi^2,\pi^3,...\}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$ desde $\pi$ es trascendental. Así que $\mathbb R$ contiene un conjunto infinito de $\mathbb Q$ -vectores linealmente independientes, por lo tanto $\mathrm{dim}_{\mathbb Q}\mathbb R$ es infinito. Pero es no es cierto que $\{1,\pi,\pi^2,\pi^3,...\}$ es una base de $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ . De hecho, no es cierto que cualquier número real sea una combinación finita con coeficientes racionales de esos elementos. Si fuera así, $\mathbb R$ sería contable (véase el comentario de tomasz).