¿Por qué $e$ ¿tan omnipresente?

Question

$e$ es uno de los números más importantes de nuestro universo, está en todas partes. Cuando intento averiguar por qué, la explicación más común es algún problema de física o finanzas de ingeniería inversa. Pero estos son sólo algunos ejemplos de por qué $e$ es importantes, se quedan cortas a la hora de esclarecer el origen de su significado. Lo que busco es alguna definición fundamental de $e$ que explica su importancia y omnipresencia, algo parecido a $\pi$ relacionando circunferencia y diámetro.

Gracias, espero haber sido claro.

EDIT*: Un dicho común es " $e$ es la base más natural". ¿Qué significa eso?

Answer 1

$e^{\lambda x}$ es la solución de la ecuación $Df=\lambda f$ . Esto equivale a decir que $e^{\lambda x}$ es una función propia del operador de diferenciación D para cualquier valor $\lambda \in \mathbb{R}$ . Ahora bien, ¿hasta qué punto es omnipresente la diferenciación en la física?

Answer 2

\begin{align} \frac d {dx} 10^x & = ( 10^x\cdot\text{constant}) \approx 10^x \cdot (2.3) \\[10pt] \frac d {dx} 2^x & = ( 2^x \cdot \text{constant}) \approx 2^x\cdot (0.693) \end{align} etc. Es fácil demostrar que la derivada de una función exponencial es un múltiplo constante de la misma función exponencial.

Sólo cuando la cuen $e$ es la "constante" igual a $1$ .

El hecho de que $x\mapsto e^x$ es su propia derivada explica su incesante aparición en el estudio de las ecuaciones diferenciales. También explica el hecho de que la "constante" sea la base- $e$ logaritmo de la base de la función epxonencial.

Ese es el principio de la historia; hay mucho más.

El hecho de que la "constante" sea igual a $1$ sólo cuando la base está $e$ es análogo al hecho de que en la identidad $$ \frac d {dx} \sin x = (\text{constant}\cdot \cos x) $$ la "constante" es $1$ sólo cuando radianes en lugar de otra unidad.