Evaluación de $(\frac{\cos x}{1-\sin x})^2$

Question

$(\dfrac{\cos x}{1-\sin x})^2$

$f\;'(x)= 2(\dfrac{\cos x}{1-\sin x}) \times (\dfrac{-\sin x+\sin^2x-\cos^2x}{(1-\sin x)^2})$

En $\sin^2x-\cos^2=1$ ? o $-1$ ? Entonces podría factorizar con el fondo y la respuesta sería $\dfrac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}$ . ¿Es correcto?

Answer 1

Utilizando $\sin^2 x + \cos^2 x=1$ ,

$$f\;'(x)= 2(\dfrac{\cos x}{1-\sin x}) \times (\dfrac{-\sin x(1-\sin x)+\cos^2x}{(1-\sin x)^2})= 2(\dfrac{\cos x}{1-\sin x}) \times (\dfrac{1-\sin x}{(1-\sin x)^2})=\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2}.$$

Answer 2

$\sin^2(x)-\cos^2(x)$ no es igual a $-1$ o $1$ .
$$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,$$

Así que $\sin^2(x)-\cos^2(x)$ es igual a:

$$\sin^2(x)-(1-\sin^2(x))= 2\sin^2(x)-1,$$ o alternativamente,

$$1-\cos^2(x)-\cos^2(x)= 1-2\cos^2(x).$$