¿Qué pasa con las "formas modulares cuánticas"?

Question

¿Sabe dónde se puede leer "Formas modulares, teoría K y nudos" ? La combinación de temas suena emocionante.

Edición: El artículo de Zagier sobre las "formas modulares cuánticas" se publicará en Volumen de arcilla dedicado al aniversario de Connes.

Edición: En la red circulan copias del fascinante artículo. Si me lo piden por correo electrónico, les ayudaré a encontrarlo.

Editar: a encuesta + notas de clase de Ken Ono sobre las formas armónicas de Maass.

Answer 1

No estoy seguro de cómo entra la teoría K en este contexto, pero las formas modulares con peso semi-integral están estrechamente relacionadas con el invariante Witten-Reshetikhin-Turaev (WRT) de los 3-manifolds. La historia comienza con un artículo de 1999 de Ruth Lawrence y Don Zagier . Calcularon una expansión perturbativa radial del invariante WRT de la esfera de homología de Poincaré $\Sigma(2,3,5)$ con grupo galga $U_\xi \mathrm{sl}_2$ en una raíz de la unidad, identificándola con la integral de Eichler de la forma modular con peso $\frac{3}{2}$ . Esta es una observación tremenda, porque significa que podemos obtener la expansión perturbativa exacta por la propiedad modular -lo que en sí mismo es un sueño hecho realidad- y luego reinterpretar partes de esta expansión (torsión de Reidemeister, invariante de Casson...) en términos de la forma modular.
Este fue el comienzo de un largo y fructífero tema de investigación, cuyos héroes posteriores fueron Hikami, J. Murakami, Habiro y muchos otros. Véase en MathSciNet.
Otra referencia que puede interesarle (también de Don Zagier) es

D D. Zagier, Vassiliev invariants and a strange identity related to the Dedekind eta-function, Topology 40(5) (2001), 945-960.

Se trata de una relación diferente entre los invariantes cuánticos y las formas modulares (en este caso, la función eta de Dedekind). Stoimenow definió un espacio de "diagramas de cuerda linealizados regulares", cuyo rango en cada grado podía calcularse explícitamente para obtener un límite superior (el mejor conocido actualmente) para el número de invariantes de Vassiliev linealmente independientes de grado fijo. Estos mismos números se obtienen también como la "derivada de orden medio" de la función eta de Dedekind, por razones descritas en el artículo. No sé qué papel más importante desempeñan los "diagramas de cuerda linealizados regulares" en la topología cuántica, por lo que no sé cómo se relaciona esta observación con la primera, ni cómo encaja en un panorama más amplio.
La conclusión es que la relación entre las formas modulares y los invariantes cuánticos de los 3-manifolds ha sido un tema de investigación activo y fructífero durante la última década, y es probable que lo siga siendo en la próxima.

Answer 2

Hay un artículo Teoría de campos conformes y elementos de torsión del grupo de Bloch por W. Nahm en el libro Fronteras de la teoría de números, la física y la geometría II . Esta es una referencia para una dirección en el resumen de la charla de Zagier.