¿Cuál es el diagrama Kirby de un universal $\mathbb{R}^4$ ?
Fondo
Defina $\mathcal{R}$ como el conjunto de alisamientos de $\mathbb{R}^4$ . Para dos elementos orientados $R_1$ , $R_2$ en $\mathcal{R}$ podemos definir su suma final $R_1 \natural R_2$ si nos dan dos incrustaciones propias $\gamma_i : [0, \infty) \rightarrow R_i$ .
Eliminamos una vecindad tubular de $\gamma_i((0, \infty))$ de cada $R_i$ y pegar el $\mathbb{R}^3$ fronteras juntos respetando las orientaciones. El resultado es el suma final $R_1 \natural R_2$ de $R_1$ y $R_2$ . En $\gamma_i$ es única hasta isotopía ambiental, $R_1 \natural R_2$ está bien definida hasta el difeomorfismo.
En "Un alisado universal del espacio cuádruple" Freedman y Taylor demostraron la existencia de un elemento $U \in \mathcal{R}$ tal que para cualquier $R \in \mathcal{R}$ el suma final $U \natural R$ es difeomorfo a $U$ . Este $U$ es el universal $\mathbb{R}^4$ .
Primer plano
En "Un invariante de los 4-manifolds lisos" Taylor define un invariante $\gamma(R) \in \{0,1,2,\ldots,\infty \}$ para $R \in \mathcal{R}$ . Taylor define $\gamma(R)$ ser $sup_K \{ min_X\{ \frac{1}{2} b_2(X) \} \}$ donde $K$ rangos sobre compactos $4$ -que se incrustan suavemente en $R$ y $X$ se extiende sobre cerrado, spin $4$ -con firma $0$ en el que $K$ sin problemas. (En realidad, Taylor define $\gamma$ para todos los lisos $4$ -manifolds, pero no necesitamos este detalle aquí).
Taylor sigue demostrando que si $R \in \mathcal{R}$ y $\gamma(R) > 0$ entonces cualquier descomposición de asas de $R$ tiene infinitas tres asas.
En "4-Manifolds y Cálculo Kirby" Stipsicz y Gompf demuestran, ver página 376, que $\gamma(U) = \infty$ . Así, cualquier Diagrama de Kirby de $U$ debe tener infinitas tres asas.
Pregunta
¿Cuál es el diagrama de Kirby de un tal $U$ ?
