Cociclos no ramificados y el grupo de Selmer de una curva elíptica

Question

En el libro de Silverman sobre curvas elípticas, da un procedimiento para calcular el grupo Selmer de la curva elíptica $E$ en relación con una isogenia $\phi:E\to E'$ . Estoy confundido sobre un paso en la discusión. El punto concreto del libro en el que estoy confundido es la Observación X.4.4.5

Sea $K$ es un campo numérico, y $M_K$ sea el conjunto de lugares de $K$ y que $S$ sea un conjunto finito de lugares de $K$ que incluye todos los lugares arquimédicos, todos los lugares donde $E$ tiene mala reducción, y todos los lugares que dividen el grado de $\phi$ .

Sea $E[\phi]$ denotan el núcleo de $\phi$ .

En primer lugar tenemos que $S^{(\phi)}(E/K)\subseteq H^1(G_{\bar{K}/K},E[\phi];S)$ (donde el $S$ significa que sólo consideramos los cociclos no ramificados fuera de $S$ ).

Para comprobar si un elemento de $H^1(G_{\bar{K}/K},E[\phi];S)$ está en $S^{(\phi)}(E/K)$ debemos ver si su imagen en $\prod_{v\in M_K} WC(E/K_v)$ es trivial (donde $WC$ es el grupo de Weil-Chatlet).

Silverman afirma que para cualquier elemento en $H^1(G_{\bar{K}/K},E[\phi];S)$ basta con comprobar únicamente la que la imagen en $WC(E/K_v)$ es trivial para $v\in S$ .

Este es el punto en el que estoy confundido. ¿Por qué la imagen es automáticamente trivial para $v\notin S$ . ¿Implica esto de alguna manera la unramificación? No encuentro nada en el libro que aborde este tema, pero tal vez estoy pasando algo por alto.

Agradecería cualquier ayuda u orientación.

Answer 1

Yo tenía la misma pregunta. He resuelto el problema parcialmente, así que comparto mi idea.

Amplío el conjunto $S$ a $S' = S \cup \{v \in M_K : E' \mbox{ has bad reduction at } v\}$ . Utilizo la misma notación que el AEC de Silverman.

Sea $v \in S'$ y considerar la localización en $v$ . Un diagrama conmutativo de secuencias exactas de $G_{\bar{k_v}/k_v} = G_v/I_v$ -módulo \begin{eqnarray} 0 \rightarrow &E[\phi]^{I_v}& \rightarrow &E^{I_v}& \rightarrow &E'^{I_v}& \rightarrow 0\\ &\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&\\ 0 \rightarrow &\tilde{E_v}[\phi]& \rightarrow &\tilde{E_v}& \rightarrow &\tilde{E'_v}& \rightarrow 0 \end{eqnarray} induce un diagrama conmutativo de secuencias exactas de cohomología \begin{eqnarray} 0 \rightarrow &E'(K_v)/\phi(E(K_v))& \rightarrow &H^1(G_v/I_v,E[\phi]^{I_v})& \rightarrow &H^1(G_v/I_v,E^{I_v})[\phi]& \rightarrow 0\\ &\downarrow& &\downarrow& &\downarrow&\\ 0 \rightarrow &\tilde{E_v}'(k_v)/\phi(\tilde{E_v}(k_v))& \rightarrow &H^1(G_{\bar{k_v}/k_v},\tilde{E_v}[\phi])& \rightarrow &H^1(G_{\bar{k_v}/k_v},\tilde{E_v})[\phi]& \rightarrow 0. \end{eqnarray} Como prueba del teorema X.4.2. en AEC, $E[\phi]^{I_v} = E[\phi]$ y $E[\phi] \cong \tilde{E}[\phi]$ como $G_v/I_v.$ -módulo. Por tanto, la flecha vertical central en el diagrama de cohomología anterior es isomorfismo. La flecha vertical izquierda es suryectiva, por lo que, a partir del lema cinco, la flecha vertical derecha es una inclusión.

$H^1(G_{\bar{k_v}/k_v},\tilde{E_v})$ puede considerarse como grupo de Weil-Chatelet, por lo que es finito. El mapa de cohomología $$H^1(G_{\bar{k_v}/k_v},\tilde{E_v}) \xrightarrow{\phi} H^1(G_{\bar{k_v}/k_v},\tilde{E_v})$$ es suryectiva entre conjuntos finitos iguales, por lo que es una inclusión. Por lo tanto $H^1(G_{\bar{k_v}/k_v},\tilde{E_v})[\phi] = 0$ . Y de la inyectividad de la flecha vertical derecha del diagrama de cohomología, $H^1(G_v/I_v,E^{I_v})[\phi] = 0$ .

Ahora obtenemos un diagrama conmutativo de cohomología a partir de un mapa de inflación \begin{eqnarray} 0 \rightarrow &E'(K_v)/\phi(E(K_v))& \rightarrow &H^1(G_v/I_v,E[\phi]^{I_v})& \rightarrow &H^1(G_v/I_v,E^{I_v})[\phi] (= 0)& \rightarrow 0\\ &\downarrow& &\downarrow& &\downarrow&\\ 0 \rightarrow &E(K_v)/\phi(E(K_v))& \rightarrow &H^1(G_v,E[\phi])& \rightarrow &H^1(G_v,E)[\phi]& \rightarrow 0. \end{eqnarray} y una secuencia de inflación-restricción $$0 \rightarrow H^1(G_v/I_v,E[\phi]^{I_v}) \rightarrow H^1(G_v,E[\phi]) \rightarrow H^1(I_v,E[\phi]) .$$

Sea $\xi \in H^1(G_{\bar{K}/K}, E[\phi]; S')$ y $\bar{\xi}$ la imagen de $\xi$ en $H^1(G_v,E[\phi])$ . Entonces, por definición $Res(\bar{\xi}) \in H^1(I_v,E[\phi])$ es $0$ . Así que la imagen de $\bar{\xi}$ en $H^1(G_v,E)[\phi]$ del diagrama anterior proceden de $H^1(G_v/I_v,E[\phi]^{I_v})$ Por lo tanto $0$ . Esto significa que la imagen de $\xi$ en $WC(E/K_v)$ es trivial.