Si Pete o alguien más sigue interesado a pesar de las buenas respuestas ya dadas, he aquí un análisis de lo que podría ser la situación más sencilla. Sea $k$ sea un campo de característica $\neq 2$ y definir $A=k[X,Y,Z]/(X^2+Y^2+Z^2-1)=k[x,y,z]$ donde $X,Y,Z$ son indeterminados.
Proposición 1 (Nagata) El anillo $A$ es un UFD si $-1$ no es un cuadrado en $k$ .
Esquema de la prueba: Si $-1=i^2$ para algunos $i\in k$ la igualdad $x^2+y^2=(1+z)(1-z)$ muestra que $A$ no es un UFD. En el otro sentido, si $-1$ no es un cuadrado, la factorialidad se deduce con bastante facilidad del siguiente teorema de Nagata: si un dominio noetheriano $A$ tiene un elemento primo $t\in A$ tal que $A[\frac{1}{t}]$ es un UFD, entonces $A$ ya era un UFD.
Proposición 2 (Serre, Samuel) Considere el módulo $M=A\partial _x \oplus A\partial _y \oplus A\partial _z$ (el módulo libre de rango 3 sobre $A$ ) y su cociente $P=M/(x\partial _X+ y\partial _y+ z\partial _z)$ . Entonces $P$ es proyectivo sobre $A$ . Si además el campo $k$ es formalmente real, entonces ese módulo $P$ no es libre sobre $A$ .
Comentarios Formalmente real significa que $-1$ no es una suma de cuadrados en $k$ . Según la teoría de Artin-Schreier, esto equivale a $k$ ser ordenable. La proyectividad se deduce de un cálculo explícito sencillo. La no gratuidad sobre $\mathbb R$ se deduce, por la correspondencia Serre-Swan, del conocido teorema topológico según el cual el haz tangente a la esfera no es trivial. En el caso general de un campo formalmente real se recurre a un truco lógico de tipo Tarski para reducir al caso $k=\mathbb R$ . Curiosamente hasta hace unos años, los expertos aseguraban que no existía una demostración puramente algebraica en el caso de $\mathbb R$ . No sé si se ha encontrado alguno desde entonces. Por último, si $k=\mathbb C$ Serre ha demostrado que $P$ es libre (sin embargo, por la Proposición 1, el anillo $A$ no es un UFD en el caso $k=\mathbb C$ )
