$L^2$ limitación del operador $T$ asociado al núcleo de Calderón-Zygmund

Question

Dado un núcleo de Calderón-Zygmund $K$ podemos definir la convolución $$Tf = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{|x-y|>\epsilon} K(x-y) f(y)dy$$

Para $0<r<s<\infty$ Defina el operador $T_{r,s}$ como :

$$T_{r,s}f(x) = \int_{\Bbb{R}^d} K(y)\chi_{[r<|y|<s]}f(x-y)dy$$

con la transformación de Fourier del núcleo truncado como :

$$m_{r,s}(\xi) = \int e^{-2\pi ix\cdot \xi}\chi_{[r<|y|<s]}K(x)dx$$

Prueba $\|T_{r,s}\|_{2\to 2}<\infty$ sólo si $m_{r,s} \in L^\infty$

Al igual que el puesto aquí podemos demostrar fácilmente $\|T_{r,s}\|_{2\to 2} \le \|m_{r,s}\|_\infty$ No tengo ni idea de cómo mostrar la otra dirección.

aquí es un post con la misma pregunta ,pero solo prueba una dirección ¿y la otra dirección?

Answer 1

Sea $m$ sea una función medible, y $M$ sea el operador multiplicador $$ \widehat{Mf}(p) = m(p)\widehat{f}(p). $$ Veremos que $\|M\|_{L^2\to L^2} = \|m\|_{L^\infty}$ . Ya sabes cómo demostrar que $\|M\|_{L^2\to L^2}\leq \|m\|_{L^\infty}$ así que demostraremos la dirección opuesta.

Primero consideramos el caso de que $m\not\in L^\infty$ y compruebe que $M$ no tiene límites. Sea $E_N$ sea el conjunto en el que $|m(p)|\geq N$ que tiene medida distinta de cero para cada $N>0$ . En particular $E_N\cap B_R$ tiene medida distinta de cero para algún radio $R=R(N)>0$ . Sea $g_N\in L^2(\mathbb{R}^n)$ sea la función cuya transformada de Fourier es la función indicadora de este conjunto, de forma que $\widehat{g_N} = \mathbb{1}_{E_N\cap B_R}$ . Entonces $$ \|M g_N\|_{L^2}^2 = \int_{E_N\cap B_R} |m(p)|^2 \,dp \geq N^2 \int_{E_N\cap B_R}\,dp = N^2 \|g_N\|_{L^2}^2. $$
Esto demuestra que $\|Mg_N\|_{L^2} \geq N\|g_N\|_{L^2}$ para cada $N$ y, por lo tanto $M$ no está limitada en $L^2$ .

Supongamos ahora que $m\in L^\infty$ . Sea $E_\delta$ sea el conjunto $\{p \mid |m(p)| \geq \|m\|_{L^\infty}-\delta\}$ . Para cada $\delta>0$ , $E_\delta$ tiene medida positiva y para algún $R=R(\delta)$ , $E_\delta \cap B_R$ tiene medida no nula pero finita. Sea $g_\delta$ sea la función que satisface $$ \widehat{g_\delta} = \mathbb{1}_{E_\delta \cap B_R}. $$ Entonces, el mismo cálculo anterior muestra que $$ \|Mg_\delta\|_{L^2} \geq (\|m\|_{L^\infty}-\delta)\|g_\delta\|_{L^2}. $$ Por lo tanto, para cada $\delta\geq 0$ tenemos $$ \|M\|_{L^2\to L^2} \geq \|m\|_{L^\infty}-\delta, $$ y esto completa la prueba.