Evaluar la integral si es posible

Question

Evalúe la siguiente integral, si es posible: $$\int_1^4 \frac{w}{w-3}dw$$

$$u= w-3,\; du = dw$$ $$\int_1^4 \frac{u+3}{u}du \Rightarrow \int_1^4 \frac{u}{u}du + \int_1^4 \frac{3}{u}du$$ $$\Rightarrow w-3 \bigg|^4_1 + 3\ln w-3\bigg|^4_1 \Rightarrow 3 + 3\ln -2 + c$$

¿Lo he hecho correctamente?

Edición: Acabo de darme cuenta de que lo hice mal. Hay una asíntota en w = 3 así que ahora lo tengo configurado como el siguiente:

$$\int_1^4\frac{w}{w-3}dw \rightarrow \int_1^3 \frac{w}{w-3}dw + \int_3^4\frac{w}{w-3}dw$$ $$\int_1^3 \frac{w}{w-3}dw\; \Rightarrow \;^\lim_{t\rightarrow 3^-} \int^t_1 \frac{w}{w-3}\; \Rightarrow \;^\lim_{t\rightarrow 3^-} \int^{t-3}_{-2} \frac{w}{w-3} $$ $$^\lim_{t\rightarrow 3^-} \int^{t-3}_{-2} du + ^\lim_{t\rightarrow 3^-} \int^{t-3}_{-2}\frac1udu$$ $$^\lim_{t\rightarrow 3^-}t-1+3ln(t-3)-3ln(2)$$

¿se ve bien?

Edit2: A través de calculadoras he encontrado que $$^\lim_{t\rightarrow 3^-}t-1+3ln(t-3)-3ln(2) = -\infty$$ En este caso, la integral es divergente y no se puede integrar.

¿Alguien puede confirmar que esto es correcto?

Answer 1

Cuidado con las sustituciones; es bueno fijar $u=w-3$ pero con esto la integral se convierte en $$ \int_1^4\frac{w}{w-3}\,dw= \int_{-2}^1\frac{u+3}{u}\,du= \int_{-2}^1du+\int_{-2}^1\frac{1}{u}\,du $$ Ahora vemos el problema con más claridad: la función $f(u)=1/u$ no está definido en $0$ que está dentro del intervalo sobre el que integramos. Así pues, debemos interpretarla como una integral impropia (o generalizada) y la existencia de $\int_{-2}{1}(1/u)\,du$ es equivalente a la (existencia y) finitud tanto de $$ \lim_{x\to0^-}\int_{-2}^x\frac{1}{u}\,du \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to0^+}\int_{x}^1\frac{1}{u}\,du $$ Ninguno de los dos es finito: por ejemplo $$ \int_x^1\frac{1}{u}\,du=\log1-\log x\xrightarrow{x\to0^+}\infty $$

Nótese que se obtendría un resultado incorrecto si no se tiene cuidado con la singularidad: argumentando como $$ \int_{-2}^1du+\int_{-2}^1\frac{1}{u}\,du=[u]_{-2}^1+[\log|u|]_{-2}^1= 1+2+\log 1-\log|{-2}|=3-\log2 $$ sería totalmente erróneo.