Tengo problemas para entender cómo funciona la función de suelo

Question

Me explico, la función suelo funciona bien, pero cuando la arrastras al análisis real, se comporta de forma realmente extraña.

Así que si tomamos una derivada es cero (sin dudas, pero es indefinida en enteros). Pero si integramos cero, no obtenemos floor(x).

Otra cosa es la intgregacion. He hecho una función ( $F(x) = floor(x)-\frac12(floor(x)^2)$ ). Cuenta el área bajo la gráfica, pero es inútil para la integración por partes y la derivada no es igual a floor(x).

Creo que la respuesta está relacionada con la transformación de Fourier, si alguien me puede ayudar se lo agradecería mucho.

Answer 1

En el campo del procesamiento de señales, la diferenciación de funciones escalonadas como floor se gestionan mediante la función Función delta de Dirac .

$$\frac{d}{dx} \lfloor x \rfloor = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta(x-n)$$

no es una función en el sentido clásico, sino una "distribución" definida por la propiedad de que

$$\int_a^b \delta(x) dx = \begin{cases}1 & \text{if } 0 \in [a, b]\\0 & \text{otherwise}\end{cases}$$

Tiene una transformada de Fourier de 1.