¿Está bien hacer este cambio de variable en la integración: let $x = x - 1$

Question

En integrales como $\int \sqrt{x-1}\,dx$ ¿Está bien hacer este cambio de variable en la integración? "dejemos $x = x - 1$ "?

Parece impreciso, como decir que 5 = 4.

Answer 1

No, pero puedes dejar que $u=x-1$ . $x$ nunca es igual a $x-1$ .

Answer 2

¿Está bien hacer este cambio de variable en la integración: let $x = x - 1$

Ciertamente puede, si lo hace cuidadosamente . $$\begin{align} g(x)+\int_{a}^{b} f(x) \operatorname d x & \;=\; g(x)+\int_{a}^{b} f(x-1) \operatorname d (x-1) \\[1ex] & \;=\; g(x)+\int_{a+1}^{b+1} f(x-1) \operatorname d x \end{align}$$

Tenga en cuenta que cuando hacemos esto sólo podemos cambiar la variable vinculada dentro del ámbito de la integración.

Probablemente más seguro para sustituirla por un nombre de variable diferente. (Menos confuso.)

$$\begin{align} g(x)+\int_{a}^{b} f(x) \operatorname d x & \;=\; g(u-1)+\int_{a}^{b} f(u-1) \operatorname d (u-1) \\[1ex] & \;=\; g(u-1)+\int_{a+1}^{b+1} f(u-1) \operatorname d u \end{align}$$

Nota: aquí puede cambiar la variable fuera del ámbito de integración.

Es más frecuente verlo escrito como:

$$\begin{align} \text{ Let } x & = u-1 & \therefore \mathrm d x = \mathrm d u \\[2ex] g(x)+\int_{a}^{b} f(x) \operatorname d x & \;=\; g(u-1)+\int_{a+1}^{b+1} f(u-1) \operatorname d u \end{align}$$