Cálculo tensorial - Símbolo de Christoffel del segundo tipo

Question

y

Entiendo estas partes de ahí arriba, pero

No puedo entender cómo la segunda fórmula de la última igualdad conduce a la tercera fórmula. ¿Puede alguien mostrarme qué reglas de índices de reetiquetado se utilizan para conducir a esto, y si es posible, la prueba de estas reglas de índices de reetiquetado?

Muchas gracias.

Answer 1

Lo que se intenta hacer con estas ecuaciones es definir la derivada covariante de un campo vectorial $\bar{F} = f^i \bar{a}_i$ (aquí utilizamos la notación sumatoria de Einstein). La primera ecuación procede de la regla de la cadena: $$\frac{\partial \bar{F}}{\partial u^j} = \frac{\partial (f^i \bar{a}_i)}{\partial u^j} = \frac{\partial f^i}{\partial u^j} \bar{a}_i + f^i \frac{\partial \bar{a}_i}{\partial u^j}. \tag{$ \ast $}$$ Ahora los símbolos de Christoffel del segundo tipo son definido mediante la ecuación $$\frac{\partial \bar{a}_i}{\partial u^j} = \Gamma^k_{\phantom{k}ij} \bar{a}_k, \tag{$ \ast\ast $}$$ suponiendo que el $\bar{a}_i$ forman una base de coordenadas con respecto a las coordenadas locales $u^i$ . Enchufar $(\ast\ast)$ en $(\ast)$ da $$\begin{align} \frac{\partial \bar{F}}{\partial u^j} & = \frac{\partial f^i}{\partial u^j} \bar{a}_i + f^i \left(\Gamma^k_{\phantom{k}ij} \bar{a}_k\right) \\ & = \frac{\partial f^i}{\partial u^j} \bar{a}_i + f^k \left(\Gamma^i_{\phantom{i}kj} \bar{a}_i\right) \\ & = \left(\frac{\partial f^i}{\partial u^j} + f^k \Gamma^i_{\phantom{i}kj} \right)\bar{a}_i . \end{align}$$

Answer 2

Este tipo de cálculo recibe el nombre apropiado de índice gimnasia . He aquí el detalle del cálculo de la derivada covariante del campo vectorial $\bar F$ , $$\begin{array}{rcll} \displaystyle\frac{\partial \bar F}{\partial u^j} &=& \displaystyle\frac{\partial (f^i\bar a_i)}{\partial u^j} & \textrm{(expand in coordinate basis)} \\ &=& \displaystyle\frac{\partial f^i}{\partial u^j} \bar a_i + f^i \frac{\partial \bar a_i}{\partial u^j} & \textrm{(chain-rule)} \\ &=& \displaystyle\frac{\partial f^i}{\partial u^j} \bar a_i + f^i \Gamma^k_{ij} \bar a_k & \textrm{(definition of }\Gamma)\\ &=& \displaystyle\frac{\partial f^i}{\partial u^j} \bar a_i + f^k \Gamma^i_{kj} \bar a_i & \textrm{(switch dummy indices)}\\ &=& \displaystyle\frac{\partial f^i}{\partial u^j} \bar a_i + f^k \Gamma^i_{jk} \bar a_i & \textrm{(torsion-free)}\\ &=& \displaystyle\left(\frac{\partial f^i}{\partial u^j} \bar a_i + f^k \Gamma^i_{jk}\right) \bar a_i & \textrm{(factor out }\bar a_i). \end{array}$$ Hemos utilizado su suposición implícita de que la conexión no tiene torsión, $\Gamma^i_{jk} = \Gamma^i_{kj}$ . Por supuesto, cuando te acostumbras a hacer este tipo de cálculos no necesitas escribir tantos pasos.

Tenga en cuenta que $i$ y $j$ en $a_{ij}b^{ij} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b^{ij}$ son índices ficticios se están sumando. (Se trata de la notación sumatoria de Einstein, un descubrimiento del que Einstein estaba muy orgulloso, y con razón). Podemos cambiar los índices ficticios siempre que el índice al que cambiamos esté libre. Por ejemplo, $a_{ij}b^{ij} = a_{ik}b^{ik}$ pero $a_{ij}b^{ij} \ne a_{ii}b^{ii}$ ya que $a_{ii}b^{ii} = \sum_{i=1}^d a_{ii}b^{ii}$ .