Un cuerpo rígido que se mueve en $\mathbb{R^2}$ tiene 3 grados de libertad y en $\mathbb{R^3}$ tiene 6 grados de libertad. ¿Podría ayudarme a demostrar que un cuerpo rígido que se mueve en $\mathbb{R^n}$ tiene $\frac{n+n^2}{2}$ grados de libertad? ¿Cuántos son de traslación y cuántos de rotación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La idea aquí es la siguiente: el colector de configuración de un cuerpo rígido en $\mathbb{R}^n$ es $Q = \mathbb{R}^n\times SO(n)$ . La idea detrás de esto es que sólo necesitamos las tres coordenadas del centro de masa además de especificar un marco fijo en ese punto. La dirección $\mathbb{R}^n$ parte localiza el centro de masa y la $SO(n)$ parte da el marco.
Otra forma de verlo es que estamos especificando un movimiento rígido. Así que $\mathbb{R}^n$ da la traducción y $SO(n)$ la rotación para pasar de una configuración inicial conocida a la actual.
Ahora el número de grados de libertad es sólo la dimensión de $Q$ . Como se sabe por geometría diferencial esta será la suma de las dimensiones
$$\dim Q = \dim \mathbb{R}^n + \dim SO(n),$$
pero $\dim \mathbb{R}^n=n$ aunque también se sabe que $\dim SO(n) = \frac{n(n-1)}{2}$ Así pues
$$\dim Q = n + \dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{2n + n^2 - n}{2} = \dfrac{n+n^2}{2}.$$
También está claro que los grados de libertad traslacionales son los asociados a $\mathbb{R}^n$ y los rotacionales son los asociados a $SO(n)$ .
