En busca de una prueba geométrica de la convergencia de una serie alterna generalizada

Question

Sea $z \in \mathbb{C} \backslash \lbrace 1 \rbrace$ con $|z| = 1$ . Consideramos la siguiente serie infinita, que necesariamente converge: $$S(z) := \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{z^n}{n}$$

Tenga en cuenta que $S(-1)$ es la serie armónica alterna.

Una aplicación directa de la Prueba de convergencia de Dirichlet demuestra que cualquier serie de este tipo converge, pero creo que esto es un poco como matar una mosca a mazazos. (Me doy cuenta de que algunos de ustedes no pensarán que esta prueba es un mazo; yo también me pregunto si esta serie es una mosca). En cualquier caso, me pregunto si hay alguna forma de demostrar la convergencia utilizando sólo un simple argumento geométrico (con algo de análisis básico).

Por ejemplo, podemos pensar en $S(i)$ como dar pasos en el plano de longitud $1/n$ pero girando noventa grados después de cada una. Entonces las sumas parciales corresponden a una secuencia anidada de cuadrados, donde el área de los cuadrados es claramente convergente a $0$ . Así, un argumento que utilice la propiedad de intervalo anidado (o realmente su correspondiente $2D$ ) indica que la serie converge.

En términos más generales, creo que porque estamos dando pasos de tamaño decreciente para $0$ y girando la misma cantidad después de cada paso, debería haber un argumento geométrico general de por qué $S(z)$ convergerán. Idealmente, me gustaría tener una demostración que pudiera hacerse accesible a los estudiantes de Cálculo, aunque no todos los pasos se presenten de forma totalmente rigurosa.

En aras de la claridad, expondré directamente mi pregunta: ¿Cómo se demuestra $S(z)$ converge utilizando un simple argumento geométrico que se basa como mucho en el análisis básico (por ejemplo, no apela a teoremas más sólidos del Análisis Complejo)?

Answer 1

Esto es lo que creo que está buscando:

En primer lugar, ten en cuenta que si das pasos de longitud fija $\ell$ y sigue girando un ángulo de $\theta\neq 0$ entonces permanecerá dentro de un círculo de radio $r=\frac{\ell}{2}\cos(\theta/2)^{-1}$ . De hecho, todos los pasos caerán sobre el círculo, y puedes calcular su centro como el punto de distancia $r$ de uno de los escalones, en un ángulo que biseca el ángulo $\theta$ . Ahora bien, si en un determinado paso decides cambiar la longitud de tus pasos a $\ell'<\ell$ el nuevo círculo tendrá un radio $r'=\frac{\ell'}{2}\cos(\theta/2)^{-1}$ con centro en el punto de distancia $r'$ lejos del paso actual en la misma dirección que el centro antiguo. De esta descripción se deduce claramente que el nuevo círculo está contenido en el círculo antiguo. Ahora puede aplicar la propiedad de intervalo anidado.

Answer 2

Esta prueba no es realmente mucho más que una reescritura de la prueba de Dirichlet, pero aquí va:

$$(z-1) \sum_{n=1}^N \frac{z^n}{n} = \sum_{n=2}^{N+1} \frac{z^{n}}{n-1} - \sum_{n=1}^N \frac{z^n}{n} = \frac{z^{N+1}}{N} - \frac{z}{1}+ \sum_{n=2}^N \frac{z^n}{n(n-1)}$$

que converge como $N \to \infty$ .

Answer 3

He aquí una idea. Agrupar las series en bloques

$$\sum_{n=dk}^{d(k+1) - 1} \frac{z^n}{n}$$

donde $d$ es fijo y lo suficientemente grande como para que los números complejos $1, z, z^2, ... z^{d-1}$ se distribuyen aproximadamente de manera uniforme en el círculo unitario. Entonces, los términos de cada bloque deben estar distribuidos aproximadamente de manera uniforme en fase a lo largo del círculo unitario y, en particular, cada término debe ser emparejable con un término aproximadamente su negativo, cancelándose los dos en el orden $O \left( \frac{1}{n^2} \right)$ .

Pero precisar esto me parece que requiere más esfuerzo que demostrar que la prueba de convergencia de Dirichlet funciona.

Answer 4

Piensa en una serie alterna

$$\sum_{n\geq 0}(-1)^n a_n,\;\;a_n>a_{n+1}>0 $$

como describiendo el movimiento de una persona indecisa, que comienza en $a_0$ y va alternativamente, un paso atrás, un paso adelante. Si denotamos por $S_n$ su ubicación después de $n$ -pasos

$$ S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k, $$

entonces observamos que

$$ S_0>S_1>0 $$

y deducimos inductivamente

$$ S_{2n}> S_{2n+2}>S_{2n+1} >0 $$

Así, durante el recorrido, la persona se encuentra siempre a la derecha del origen, y cada dos pasos se acerca más al origen. Matemáticamente, esto significa que la subsecuencia $S_{2n}$ es decreciente y positivo, por lo que tiene un límite. La subsecuencia impar $S_{2n+1}$ converge al mismo límite ya que

$$ S_{2n}-S_{2n+1}=a_{2n+1}\to 0. $$

Podemos visualizar este proceso considerando la función continua $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ $S:[0,\infty)\to \bR$ que es lineal en cada uno de los intervalos $[n,n+1]$ , $n$ entero no negativo, y tal que $S(n)= S_n$ . Puede visualizarse como un zig-zag, arriba-abajo-arriba, que se mantiene por encima del $x$ -mientras que los picos son cada vez más cortos.