¿Cómo generalizar una representación integral particular de la función Gamma a coeficientes de parámetros negativos?

Question

DLMF 5.9.1 reproduce el resultado del ejercicio 1.1 del cap 2.1 de Funciones asintóticas y especiales de Olver:

$$\frac{1}{\mu}\Gamma\left(\frac{\nu}{\mu}\right)\frac{1}{z^{\nu/\mu}}=\int_{0}^% {\infty}\exp\left(-zt^{\mu}\right)t^{\nu-1}\mathrm{d}t$$

Este resultado es válido cuando $\Re\nu, \mu, \Re z>0$ .

¿Existe una generalización sencilla cuando $\nu, \mu<0,\ z>0,\ \nu,\mu,z\in\mathbb{R}$ ? Me parece que en ese caso, la fórmula se convierte en $-\frac{1}{\mu}\Gamma\left(\frac{\nu}{\mu}\right)\frac{1}{z^{\nu/\mu}}$ pero, ¿hay alguna forma sencilla de mostrarlo?

La motivación para ello procedía de la estadística, donde había que demostrar que

$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(a)\ b^{a}}\ \exp\left(-\frac{1}{b}t^{-1}\right) t^{-a-1}\mathrm{d}y=1 \text{ (i.e. is a PDF)},$$ con $a,b>0$ .

Aplicando DLMF 5.9.1 ignorando las restricciones se obtiene -1 en lugar de +1.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} \int_0^{ + \infty } {\exp \left( { - zt^{ - \alpha } } \right)t^{ - \beta - 1} dt} & \mathop = \limits^{t = 1/s} - \int_{ + \infty }^0 {\exp \left( { - zs^\alpha } \right)s^{\beta - 1} ds} \\ & \;\,= \int_0^{ + \infty } {\exp \left( { - zs^\alpha } \right)s^{\beta - 1} ds} = \frac{1}{\alpha }\Gamma \left( {\frac{\beta }{\alpha }} \right)\frac{1}{{z^{\beta /\alpha } }} \end{align*} cuando $\alpha$ , $\beta>0$ . Toma $\alpha=-\mu$ y $\beta=-\nu$ con $\mu$ , $\nu<0$ y ya tienes el resultado.