Prueba $\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n\left(1+\frac{n}{2^n}\right)=0$ utilizando $\varepsilon$ - $N$ .

Question

No sé cómo resolverlo. La siguiente imagen muestra mi pregunta: Pregunta

Prueba $$\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n\left(1+\frac{n}{2^n}\right)=0$$ utilizando $\varepsilon$ - $N$ argumento.

Mi intento: $$\left\lvert \left(\frac{2}{3}\right)^n \left(1+\frac{n}{2^n}\right) \right\rvert=\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{1}{3}\right)^n\times n$$

No sé cómo continuar...

Answer 1

Tenga en cuenta que $\left|\left(1+\frac{n}{2^n}\right)\right|\le \frac32$ para $n\ge 1$ (puedes utilizar la inducción para demostrarlo). Por lo tanto, para todo $\epsilon>0$ podemos escribir

$$\begin{align} \left|\left(\frac23\right)^n\left(1+\frac{n}{2^n}\right)\right|&\le \left(\frac23\right)^{n-1}<\epsilon \end{align}$$

siempre que $n>\max\left(1,1+\frac{\log(\epsilon)}{\log(2/3)}\right)$ .