Sé que ser perfectamente normal implica ser completamente normal, pero ¿es cierto lo contrario?
He leído en alguna parte que $\overline S_\omega$ es un contraejemplo pero no se como demostrarlo.
Muchas gracias.
Respuestas
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A continuación se presenta un esquema para demostrar que la espacio ordinal $\omega_1 + 1 = [ 0 , \omega_1 ]$ (se indica mediante $\overline{S}_\Omega$ en Munkres's Topología ) de todos los ordinales contables junto con el menor ordinal incontable bajo la topología de orden es completamente normal pero no perfectamente normal. Algo importante de este espacio es que para cada $\beta \in [0,\omega_1]$ la familia de todos los conjuntos de la forma $$( \alpha , \beta ] = \{ \xi \in [0,\omega_1] : \alpha < \xi \leq \beta \}$$ para $\alpha < \beta$ es una base vecinal en $\beta$ .
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Es completamente normal porque todos los espacios ordenados linealmente son completamente normales. Vale, puede que sea un esquema demasiado corto. Para este espacio en particular, supongamos que $A, B \subseteq [0,\omega_1]$ son subconjuntos separados no vacíos ( es decir , $A \cap \overline{B} = \varnothing = \overline{A} \cap B$ ). Sin demasiada pérdida de generalidad podemos suponer que $0$ no pertenece a ninguno de los dos conjuntos (es un punto aislado del espacio).
- Para cada $\alpha \in A$ encontrar un $\gamma_\alpha < \alpha$ tal que $( \gamma_\alpha , \alpha ] \cap B = \varnothing$ y, a continuación $U = \bigcup_{\alpha \in A} ( \gamma_\alpha , \alpha ]$ .
- Del mismo modo, para cada $\beta \in B$ encontrar un $\delta_\beta < \beta$ tal que $( \delta_\beta , \beta ] \cap A = \varnothing$ . A continuación, establezca $V = \bigcup_{\beta \in B} ( \delta_\beta , \beta ]$ .
Demuestre que son vecindades abiertas disjuntas de $A$ , $B$ respectivamente.
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No es perfectamente normal porque $\{ \omega_1 \}$ es un subconjunto cerrado que no es G $_\delta$ . (Para demostrar que si $\{ U_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ es una familia de vecindades abiertas de $\omega_1$ entonces $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} U_n \neq \{ \omega_1 \}$ tenga en cuenta que si $\{ \alpha_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ es una familia contable de ordinales contables, entonces $\sup_{n \in \mathbb{N}} \alpha_n$ también es un ordinal contable. Para cada $n$ elija $\alpha_n < \omega_1$ tal que $( \alpha_n , \omega_1 ] \subseteq U_n$ .)
Austin Mohr
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Dado que las definiciones relativas a la separación tienden a no coincidir, me ha parecido prudente añadir las definiciones utilizadas en $\pi$ -Base. Son los que se encuentran en Willard's Topología general lo que parece ser bastante habitual.
A completamente normal es aquel para el que cualquier subespacio es normal (bajo la topología del subespacio). Equivalentemente, un espacio es completamente normal siempre que dos conjuntos separados cualesquiera puedan colocarse en conjuntos abiertos disjuntos.
Un espacio $X$ es perfectamente normal si, para conjuntos cerrados distintos $A$ y $B$ existe una función continua $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f^{-1}(A) = \{0\}$ y $f^{-1}(B) = \{1\}$ .
$\pi$ -Base una versión en línea de la obra de Steen y Seebach Contraejemplos en topología , enumera los siguientes espacios como completamente normales pero no perfectamente normales. Puede consultar la resultado de la búsqueda para saber más sobre estos espacios.
Plaza Alexandroff
Métrica del producto de Baire en Rω
Espacio ordinal cerrado [0,Ω]
Círculos concéntricos
Topología de puntos excluidos contables
Topología entera eliminada
Topología Either-Or
Topología de puntos excluidos finitos
Espacio Fortissimo
Topología Hjalmar Ekdal
Topología Indiscreta
Ordenación lexicográfica en el cuadrado unitario
Topología de intervalos anidados
Topología impar-Even
Topología de compactación en un punto
Espacio ordinal abierto [0,Ω)
Topología de orden recto en R
Espacio Sierpinski
La larga cola extendida
La escoba de los números enteros
La larga cola
Topología de puntos excluidos incontables
Espacio Fort incontable
