Conjuntos infinitos y su Cardinalidad

Question

(Yo soy una niña de 13 años así que cuando usted responda por favor no usar las cosas que son DEMASIADO duros aunque yo realmente puede entender cosas complejas)

Yo estaba estudiando conjuntos Infinitos y su cardinalidad (no en la escuela, pero sólo por diversión) y ya sé que el $|\mathbb N|$ es aleph nada $\aleph_0$ $|\mathbb R|$ es aleph one $\aleph_1$. Pero sólo tengo una pregunta, ¿alguno de los del conjunto de cardinalidad cada vez crecen más de aleph one? si es así, cómo?

Answer 1

La cardinalidad de a $\Bbb R$ no $\aleph_1$. Es $2^{\aleph_0}$. Si es o no es igual a $\aleph_1$ es conocida como La Hipótesis continua.

No podemos probar ni refutar que a partir de la habitual de los axiomas de la teoría de conjuntos (y las matemáticas). Así que es posible que $|\Bbb R|=\aleph_1$, o que $|\Bbb R|=\aleph_2$; muchos más valores son posibles.

Hay canónicas de los conjuntos de tamaño $\aleph_1$ $\aleph_2$ y así sucesivamente, cuya construcción es demasiado difícil de explicar sin haber establecido un básico de fondo sobre el tema. Sin embargo Cantor del teorema nos dice que $|X|<|\mathcal P(X)|$ donde $\mathcal P(X)=\{A\mid A\subseteq X\}$ es el juego de poder de $X$.

En el caso de $\mathcal P(\Bbb R)$ es un conjunto cuya cardinalidad es estrictamente mayor que el de $\Bbb R$.

Answer 2

Tienes razón cuando dices que el $|\Bbb N|=\aleph_0$, pero $|\Bbb R|$$2^{\aleph_0}$, a menudo abreviado a $\mathfrak{c}$, que puede o no ser $\aleph_1$. La declaración de que $|\Bbb R|=\aleph_1$ es la llamada hipótesis continua, a menudo abreviado a $\mathsf{CH}$; se sabe que la costumbre axiomas de la teoría de conjuntos no implica que $\mathsf{CH}$ es verdad, y también no implica que sea falsa (suponiendo que, como nosotros, que los axiomas mismos son consistentes). La gran mayoría de los matemáticos no asumir que $\mathsf{CH}$ es cierto.

Sí, hay grandes cardinalidades. El Cantor del teorema dice que si $A$ es cualquier conjunto, $\wp(A)$, el conjunto de todos los subconjuntos de a $A$, tiene mayor cardinalidad de a $A$. En particular, $\wp(\Bbb R)$, el conjunto de todos los subconjuntos de a $\Bbb R$, tiene cardinalidad mayor que $|\Bbb R|$; su cardinalidad es $2^{\mathfrak{c}}=2^{2^{\aleph_0}}$. El conjunto de todos los conjuntos de subconjuntos de a $\Bbb R$, escrito $\wp\big(\wp(\Bbb R)\big)$, es más grande aún: su cardinalidad es

$$\huge 2^{2^{\mathfrak{c}}}=2^{2^{2^{\aleph_0}}}\;.$$

Answer 3

Hay un famoso teorema conocido como el Cantor del teorema según el cual, para cada conjunto $S$, la cardinalidad del juego de poder $\mathcal P (S)$, que es el conjunto de todos los subconjuntos de a $S$, es estrictamente mayor que la cardinalidad de a $S$. Por lo tanto, el conjunto de $\mathcal P (\mathbb R)$ de todos los subconjuntos de los números reales tiene cardinalidad estrictamente mayor que $\aleph_1$. Usted puede encontrar una prueba del teorema de Cantor, básicamente, en cualquier libro de texto, así como en línea. La prueba es muy elegante y corto.

Answer 4

Usted puede considerar siempre $P(X)$$X$, es decir, el conjunto de los subconjuntos de a $X$ y la cardinalidad de a $X$ es menor que el de $P(X)$.

También, se puede considerar que el espacio de funciones de $X \rightarrow X$.

Usted puede estar interesado en el continuum de hipótesis.