Si $z = r[\cosθ +i\sinθ]$ demuestre que $w = \sqrt[n]{r}[\cos(θ/n) +i\sin(θ/n)]$

Question

a. Si $z=r\left[\cos\theta +i\sin\theta \right]$ , $ w =\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta}{n}\right) +i\sin\left(\frac{\theta }{n}\right)\right] $ es un $n$ -enésima raíz de $z$ donde $r\geq 0$

Ahora mi primera semana de álgebra abstracta acaba de terminar así que realmente no he aprendido mucho todavía.

Puedo ver que esto parece coordenadas polares y que podría implicar el Teorema de De Moivre pero nunca he visto un problema como este antes. Si alguien pudiera iniciarme o decirme con seguridad qué teorema usar se lo agradecería

b. Demuestre que cada $n$ -enésima raíz de $z$ tiene la forma $ kw$ donde $$ is a primitive $ n $-th root of unity and $ k = 0,1,2,\dotsc,n1$.

Me preocupa más aprender a hacer la parte a. que la b.

Answer 1

Pista: Utiliza la identidad de Euler

$ e^{\mathbb{i} \theta} = \cos{\theta }+ \mathbb{i} \sin{\theta}$

Ahora,

$z=r\left[\cos\theta +i\sin\theta \right]$ $\rightarrow$ $z=re^{\mathbb{i} \theta}$

Así que..,

$z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{\mathbb{i} \theta}{n} } $

Entonces

$z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}\left[\cos\frac{\theta}{n} +i\sin\frac{\theta}{n} \right]$