Demuestra que MNPQ y ABCD tienen el mismo centroide.

Question

Si ABCD es un cuadrilátero y M,N,P,Q son puntos exteriores tales que ABM, BNC, CPD, DQA son triángulos equiláteros. Demostrar que MNPQ y ABCD tienen el mismo centroide.

He intentado resolverlo por vectores pero no se como puedo utilizar que los triángulos son equiláteros.

Answer 1

Sea $\varepsilon = e^{-i{\pi\over 3}} = \cos {\pi\over 3} - i\cdot \sin{\pi\over 3}$ y que $G$ , $G'$ sean centros de gravedad de $ABCD$ y $MNPQ$ Así que

$$ G ={1\over 4}(A+B+C+D)$$ y $$G'= {1\over 4}(M+N+P+Q)$$ Ahora como obtenemos el vector $\vec{AM}$ con rotación de $\vec{AB}$ en torno a $A$ para ángulo $-{\pi\over 3}$ que tenemos (y similares para otros): \begin{eqnarray} % \nonumber to remove numbering (before each equation) M-A &=& \varepsilon(B-A) \\ N-B &=& \varepsilon(C-B) \\ P-C &=& \varepsilon(D-C) \\ Q-D &=& \varepsilon(A-D) \end{eqnarray}

Si solemos esta ecuación y la dividimos por 4 obtenemos: $$ G'-G = 0$$ y hemos terminado.